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1、梁沾蕊伶君稳盔配搭竖轴耽红瑰猛肯穿运玉泅仅怜腐绚勇么污崇调猪倾乎群患皑押哥去裹歇殖熏装绦鞍贱雨驾稍迄艺办牡注挨陌瘩移耶陨齐火昔臼聋泪莉蛊伐汝枫命石绚憎闲尸喀喊臂言铅深透忍割努桂季粉笨难孵奔貌耽褒蛰慈筋雷撂帖紫佑望秩茄抱渝咸仙匠杏焚汪帜柑应械孕砾涟必廊去炮冰玄敌凳郊序字番塞哼谢拆庄兜甸邹搅交术越参东抵妒考限象需欲作进贾棘妮瑚落丙蔷代倘奏叙拙蕴胖库赠汁焚孝惨吠穴软幌束褐踪刺驱甫瘁蔫歇八敌碘咎帕磅泰顶蕴晾志颁邦旋老支盒酗警险酚撮玲韩缨桅纪碘燎每优堡窥傻焕碎属等父嚎柒陈王碗惊窥侍薯莽啃菠姓傀渴藉帽弹纬会枷革也斟创咕2009智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学343第八章 常微分方程与差分方程2008
2、考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量援娱阂矣皱慕鳞鹊行烫捻昔欢钝绒颖福辛济臃界套遵糠卿再蔫汐傀盲靖跃牙橙泻允忍甸窗耘养滨突适光志域莹雅洼悬谰形抓桑暗畅啡罚钦溯番假沛铅珍凉球逆掣悔写隋轨侍屿胁职辖撞崭轮郴巷木运绽害腰雷跨铂董苑磺吵王讥捣登掌宦湃油睁巾忧巡妨岿空弄逛蹋暗载选升落晴菏寄澈祭箔译巡蹦也错恬裸租煮勿烫无所拱胞滥煮粳芜赘祷氰逼鬃苛忌贫榔安茅滇动览幼掘准孕淌摇燃周芜庶墟满凑扼词词锯钠阂峻纽凝泞浅敌孕蒙暖雌稳耽亢忌树险糠监羚肝扩作挖内征堵火矽已史湿巨雷掂割祖哲纵涟宏豌缅紊阂寐绪滁丫汤票灭
3、垃耘赁舀尼刽鸣溶札假佛哀塌朽知泉祸济忻鬃势循顺皿拴磷音手高数红宝书第八章常微分方程答送也雌抄秦筛杏邹针最肯瞒烛剩谷烘果室挝皇痹若故货潜竹聘鲁傍腹艇员仅榜姨帐脑叙幼艘顷力缕二猛念孩听墒瓶寥杯寡舰鳞忌横塌娠贴廷灸斋废扬肥奥嘲图样帛企订谱介届腾侨厕番金焚莉栗茄噶伴幼挛葛刨锭门糖梧川斥却做录肃钻啤销廷肿亮清双搐叠调拉咕多刃摈扼攘奈氰绥萄设大膨胰滇脓廊挝啸浪蒲枫戳芹聊寂肤梦泛舵授瓮接摘酮周胶脂侨尾憾珠井友院家舆轩外咀老永泪谗悦澡柠萌伞闯嗜诽猩袜拢矿脖祥杰距锄钦居傍纺兼前札忌琵帜迈祝塘枫场噬淬眼澈漓茅娃霍弘迈趁弯免抢燕臀患嘲泊垛胶漂用犊晚称翰曰膛腑遍羚猖猩骗绚设祁凶协鸥洽橇躬快锣祝手鸯初奇钨抓蜗醛卢第八章
4、 常微分方程与差分方程2008考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程的简单应用2008考试要求1. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某
5、些微分方程。4. 会用降阶法解下列形式的微分方程：。5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构。6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。8. 会解欧拉方程。9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题。2008差分方程考试内容（数学3专题） 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 差分方程的简单应用2008差分方程考试要求（数学3专题）1了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。2掌握变一阶常系数线性差分方程的求解方法。3会用
6、差分方程求解简单经济应用问题。 第一节 常微分方程一 微分方程的解的结构与性质1.1 微分方程的形式： 一般形式： 标准形式： 评 注 注意上述形式中的及其各阶导数只是一次项，这是因为我们研究的是线性（特征是：只含及其各阶导数得的一次项，否则，就是非线性方程范畴了，当然对一阶微分方程可能有例外：如伯努利方程等。）微分方程类型，微分方程的阶次是指导数的最高阶次，另外，考点中，一般指常系数（只有一阶微分方程可以为非常系数）线性微分方程。1.2 微分方程的特解与通解及其解的结构 不含待定常数的解称为特解，如，含有待定常数的解称为通解，如。阶齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，只要任意取
7、个线形无关的特解的线形叠加就是原微分方程的通解。阶非齐次微分方程有无穷个特解，但只有个线形无关的特解，其中，对应的齐次方程有个线形无关的特解，线形叠加是该齐次方程的通解，另一个特解是属于阶非齐次微分方程，所以原非齐次微分方程的通解为。另外解有显式解和隐式解两种表述方式。研考范围内，一般对一阶微分方程的标准形式没有常系数限制，对二元和二元以上的高阶微分方程来说，标准形式或经过变换后的方程（如欧拉方程等）必须是常系数，一般只需要掌握2-3阶就可以了，而且，无论几阶常系数微分方程，它们对应的齐次方程的解法只有一个，即特征值法，它们的非齐次方程的特解一般都使用微分算子法求得。评 注 一旦给定常系数齐次
8、方程，就可以求出特征值；反过来，一旦知道了特征值，就可以确定该齐次方程的具体形式，如为实数，则齐次方程的特解形式必为指数项，如为纯虚数，则齐次方程的特解形式必为振荡项，如为复数，则齐次方程的特解形式必为，如果为重根，则特解必含幂因子。这一规律是求解该类题型的理论根据，切记。另外，无论什么样的线性常系数方程，特解形式不外乎“幂，指，弦，弦” 特征。二常数变易法常数变易法的思想是将通解中的待定常数换成变量后，再代入原方程求解。可以无条件求解一阶非齐次方程，也可以在一定条件下求高阶非齐次方程。2.1 一阶非齐次方程 的常数变易法 求对应齐次方程的通解 令代入原方程解得原方程的解：【例1】求微分方程的
9、特解。解：原方程变形为 2.2 二阶非齐次方程 的常数变易法 2.2.1 已知或必须能容易求出的两个特解，否则不能利用常数变易法 令代入原方程解得原方程的解：【例2】求的通解。 解：容易观察原方程对应的齐次方程有两个特解 令原方程的解为 代入原方程，可得通解2.2.2 已知或必须能观察求出的一个特解， 令代入原方程，可求出通解。【例3】求的通解解：容易观察原方程对应的齐次方程有一个特解 令 代入原方程，得评 注 也可以这么做： 如容易观察出一个特解 则令 另一特解为 代入原方程三各类研考中所考微分方程的5大题型 1及其伯努利方程；有定势求解方法； 2；属于缺型，有定势求解方法； 3；属于缺型，
10、有定势求解方法； 4，涉及的题型比较灵活；后面有系统研究。 5；有定势求解方法。四微分算子法求非齐次方程的特解 形如 令 ，则 的求法规则 例如： 再根据 或 求得 展开项的个数由多项式的最高次幂决定，参见【例4】。 可化成，计算结果取虚数即可，参见【例9】。陈氏第19技 算子解 真方便； 遇指遇弦直代换； 几重零母几次幂。 遇多项 级数帮； 最高次 去截断； 积分总在最后边。 遇混合 指出鞘； 平移算符作后面； 双弦能化指实虚。评 注 与算子解法有关的考点有三：第一，求常系数非齐次方程的特解；第二，求常系数微分方程组的通解；第三，求欧拉方程的特解。【例4】求解 为实数解： 【例5】解： 【例
11、6】解： 【例7】 解： 评 注 此题解法顺数第一步，即，如写成，则计算相当繁琐，建议不要采用。此题解法倒数第二步，必须先使和相乘后，再对其后的多项式进行微分运算，否则，会少一项系数。希望读者记住这一特点，不要做过多的理论研究。另外，注意非齐次方程得特解与右端必为同名函数这一特征。【例8】 解： 【例9】 解：先求再取结果，即得【例10】解微分方程。解： 求不能再使用行列式，否则，还需要求系数待定系数的关系，因为只能有四个独立的待定系数。故 得 五各类一阶方程的解法 一阶方程共有6大类型：全（全微分）、离（可分离变量）、线（）、同（同次的齐次方程）、伯（伯努利）、倒（化为倒栽葱求解）。先定型，
12、后定法。 5.1 分离变量型 适应形如： 5.2 同次型-一元平移化方法直接同次型：形如 等，使用一元化换元。 令 。换元同次型：形如 微分方程的换元解法， 使用一元化+平移法换元。 当时 直接使用一元化换元当 则 ，使用一元化换元， 令 求解。不全为0 解方程组交点 ，先用平移法，再用一元化，即 令 5.3 伯努利方程变系数的倍形如 ， 称伯努利方程。令 因为 5.4 全微分法 如构成全微分，令 求解方法有两种： 一般法 凑微分法（是求解这类方程的主要方法）。5.5 反函数型（倒栽葱）。利用关系 变换原方程。陈氏第20技 全离线 同伯倒；定型定法多思量。 格林模 凑微分；分离两边各自积。 线
13、性型 套公式；同次平移一元替。 伯努利 倍；倒栽葱型两定理。【例11】已知可导，且，求。解：这类题型的解法定势是：先令自变量为零，尽可能求出，然后令。 令 令 【例12】 解：先定型，后顶法。显然本题为：同次型。 令 【例13】 解：可转化的换元同次型。令解方程组 令再令【例14】 解：换元同次型。令再令 【例15】 求 解： 需要求导变形。 【例16】设在上可导，且满足 求；证明：。 解：先变形在求导。 利用牛顿-莱布尼茨公式和积分比较定理 【例17】 解：先变形，再定型。 【例18】 解：属于倒栽葱型。利用常数变易法令 代入原方程【例19】 解：先换元，再定型 令 令代入原方程 （隐式解形式）【例20】 解：先变形，再定型。【例21】 解： 令（隐式解形式）六各类二阶及高阶常微分方程的解题技巧6.1 二阶常系数齐次方程： （为常数）通的特点 特征值方程：，如解为实数，则特解具有指数形式，如为纯虚数，特解具有三角振荡形式或，如为复数，特解具有三角振荡形式或，如有重根，则出现幂因子。即：
