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1、第十八章 勾股定理181 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。3难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田 地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田 地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成
2、为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课 采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙， 面积不会改变。三、例题的意图分析例 1 （补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这 个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人
3、类的语言、音乐、各种 图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言 的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角 ABC,用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形， 勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜 边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为5和12的直角 ABC，用刻度尺量AB的长。5
4、2+122=132，那么就有勾 2+股 2=弦 2。对边为 a、 b、 c。拼摆不同的形状你是否发现32+42与52的关系, 52+122和132的关系,即32+42=52,对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例1 （补充）已知：在AABC中，ZC=90,ZA、ZB、ZC的 求证： a2b2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生 利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S,+S小正=S 大正1小正大正4X 2ab+（ba） 2=c2，化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的
5、证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱 国情怀。例2已知：在厶ABC中，ZC=90,ZA、ZB、ZC的对边为a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。bb1左边 S=4X 2ab+c2右边 S=（a+b）2左边和右边面积相等，即14X 2ab+c2= （a+b） 2化简可证。六、课堂练习1.勾股定理的具体内容是：2如图，直角 ABC的主要性质是：ZC=90,（用几何语言表示） 两锐角之间的关系：；若D为斜边中点，则斜边中线；若ZB=30，则ZB的对边和斜边：；三边之间的关系： 。角；若满足b23.AABC的三边a、b、c,
6、若满足b2= a2+c2,贝90； 若满足b2c2+a2,则ZB是. c2+a2，则 Z B 是角。bE4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1 已知在RtAABC中，ZB=90, a、b、c是厶ABC的三边，则（1）c=。（已矢廿 a、b, 求 c）（2）a=。（已矢廿 b、c, 求 a）（3）b=。（已矢廿 a、c, 求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c,有abc，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b, c的值，并把b、 c用含a的代数式表示出来。3、4、532+42=525、 12、 1352+122=1327、 24、 2572+242=2529、
7、40、 4192+402=41219, b、 c192+b2=c23在 ABC中，ZBAC=120, AB=AC=1 3 cm, 一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时,PA 与腰垂直。D B C4已知：如图，在 ABC中，AB=AC, D在CB的延长线上。 求证：（1）AD2AB2=BD CD若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。八、参考答案课堂练习1 略；112. （l）ZA+ZB=90；CD=2AB；3AC= AB；4）AC2+BC2=AB2。3. ZB,钝角，锐角；14提示：因为 S 梯形abcd = Smbe+ Sg+ Ieda，又因为 S 梯形acd
8、g=2（a+b） 21Sabce= Saeda=2 ab1SABE= 2 C211(a+b) 2=2X 2 ab+ 亍2。2a 2 + b 2 = c 2a 2 一 1c 二 b +1；则 b=21812二、123435 秒或 10 秒。提示：过A作AE丄BC于E。勾股定理（二）1教学目标 会用勾股定理进行简单的计算。树立数形结合的思想、分类讨论思想重点、难点 重点：勾股定理的简单计算。 难点：勾股定理的灵活运用。难点的突破方法：课后练习1.c= b 2 _ a 2 ；Qa= b 2 _ c 2 ；3b= c 2 + a 2a2 +1c= 2 ;当 a=19 时，b=180, c=181。数形
9、结合分类讨论力作辅助线让学生每做一道题都画图形，并写出应用公式的过程或公式的推倒过程，在做题过程中熟记公式，灵活运用。 让学生画好图后标图，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创 造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力。优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确 在直角
10、三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用五、例习题分析例 1 （补充）在 RtAABC,ZC=90已矢廿a=b=5,求c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a： b=1 ： 2,c=5
11、, 求 a。已矢廿 b=15，ZA=30，求 a， c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确 在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况 让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。
12、3ADB例3 （补充）已知：如图，等边 ABC的边长是6cm。求等边AABC的高。求S怂B。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD,可将其置身于RtAADC或RtABDC中，1但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=2AB=3cm，则此题可解。六、课堂练习1填空题在 RtABC，ZC=90，a=8，b=15,则 c=。在 RtABC，ZB=90，a=3，b=4，则 c=。在 RtABC，ZC=90，c=10，a： b=3： 4,则 a=，b=。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长
13、分别为。已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为。已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。2已知：如图，在 ABC中，ZC=60, AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。aD3已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。七、课后练习1 填空题在 RtABC，ZC=90，如果 a=7， c=25，则 b=。如果 ZA=30，a=4，则 b=。如果ZA=45，a=3，贝c=。如果 c=10， a-b=2，贝b=。如果a、b、c是连续整数，则a+b+c 。如果 b=8， a： c=3： 5，贝U c=。2已知：如图，四边形ABCD中，AD
14、BC, AD丄DC,AB丄AC,ZB=60, CD=1cm，求 BC 的长。八、参考答案课堂练习1. 17； 门；6, 8；6, 8, 10； 4 或 V34 ； x3 , a-3 ；2. 8；3 48。2占2.课后练习1. 24；4%3 ；3 72 ；6；12；10；18. 1勾股定理（三）一、教学目标1 会用勾股定理解决简单的实际问题。2 树立数形结合的思想。二、重点、难点1 重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。3难点的突破方法：数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的 使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活 运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。三、例题的意图分析例 1（教材 P74 页探究 1 ）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解 决实际问题。例 2（教材 P75 页探究 2 ）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的
