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1、单元检测(十三) 极限(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.等于( )A. B.1 C. D.解析：.答案：A2.极限存在是函数f(x)在点x=x0处连续的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：f(x)在x=x0处连续存在,存在f(x)在x=x0处连续.存在为f(x)在x=x0处连续的必要不充分条件.答案：B3.在数列an中,a1=1,当n2时,且已知此数列有极限,则an等于( )A.-2 B.-1 C.0 D.1解析：由存在,知,令,.,b=0.an=0.答案：C4.,则a的值为(
2、)A.1 B.-1 C.1 D.2解析：采取“上下同除以一个数”的方法.由题意,知1+a=2,因此a=1.选A.答案：A5.函数极限的值为( )A. B. C. D.解析：,令y=lnx,则,.答案：C6.x=1是函数的( )A.连续点 B.无定义点C.不连续点 D.极限不存在的点解析：,.但f(1)=0,.答案：C7.等于( )A.3 B. C. D.6解析：,.答案：B8.若数列an满足,且对任意正整数m,n都有am+n=aman,则等于( )A. B. C. D.2解析：由am+n=aman,得,an是以为首项,公比的等比数列.答案：A9.在等比数列an中,a11,且前n项和Sn满足,那
3、么a1的取值范围是( )A.(1,+) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)解析：由题意,知,.答案：D10.设正数a,b满足,则等于( )A.0 B. C. D.1解析：,.,选B.答案：B11.若,则a等于( )A.4 B.3 C.2 D.1解析：,a=2.答案：C12.函数y=f(x)在x=x0处连续,且,其中a0,则f(x0)等于( )A.-1 B.7 C.-1或7 D.3解析：函数f(x)在x=x0处连续,即a2-2=2a+1.a0,a=3.f(x0)=7.答案：B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在数列an中，a1=9,且对任意大于1的正整数n,点在直
4、线x-y-3=0上，则_.解析：由题意,得,是等差数列.an=9n2.答案：914._.解析：.答案：-215.如图，连结ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1,又连结A1B1C1的各边中点得到A2B2C2,如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC、A1B1C1、A2B2C2、,这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是_.解析：由条件结合图象可知，三角形的顶点都在ABC的三条中线上，由极限知识知M点的坐标是ABC的重心，即为所求.答案：16.将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角
5、形可看出,其中x=_.令,则_. 解析：令n=3,.当r=1时,.x=1,2.当r=2时,.x=3.归纳x=r+1.利用裂项求和求极限求出的值.答案：r+1 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点和Q(4,8).(1)求f(x)的解析式;(2)记an=log2f(n),nN*,Sn是数列an的前n项和,求.解：(1)f(x)的图象经过点和Q(4,8),解得.(2)an=log2f(n)=log222n-5=2n-5.an+1-an=2(n+1)-5-(2n-5)=2,an是以-3为首项,公差为2的等差数列.18.(本小题
6、满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,其中且.(1)求a2、a3;(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法加以证明;(3)求.解：(1)由,得,由,得,得.(2)猜想.证明：当n=1时,显然成立.假设n=k时,猜想成立,即,则n=k+1时,得Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,同时.两式相减,得,即.,即n=k+1时,猜想成立.(3).19.(本小题满分12分)已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有,求首项a1的取值范围.解：,0|q|1或q=1.当0|q|1时,即有0|4a1-2|1.解之,得,；当q=1时,即,得.故a1的取值范围为且或.20.(本小题满分12分)在边长
7、为l的等边ABC中,O1为ABC的内切圆,O2与O1外切,且与AB、BC相切,On+1与On外切,且与AB,BC相切,如此无限继续下去,记On的面积为an(nN*).(1)证明an是等比数列;(2)求的值.(1)证明：记rn为On的半径,则, (n2).于是,故an成等比数列.(2)解：,.21.(本小题满分12分)已知公比为q(0q1)的无穷等比数列an各项的和为9,无穷等比数列各项的和为.(1)求数列an的首项a1和公比q;(2)对给定的k(k=1,2,n),设T(k)是首项为ak,公差为2ak-1的等差数列,求数列T(2)的前10项之和;(3)设bi为数列T(i)的第i项,Sn=b1+b
8、2+bn,求Sn,并求正整数m(m1),使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限)解：(1)依题意,可知(2)由(1),知,所以数列T(2)的首项为t1=a2=2,公差d=2a2-1=3,即数列T(2)的前10项之和为155.(3),.当m=2时,当m2时,所以m=2.22.(本小题满分12分)已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(nN*).(1)证明数列an+1是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f(1),并比较2f(1)与23n2-13n的大小.(1)证明：由已
9、知Sn+1=2Sn+n+5,n2时,Sn=2Sn-1+n+4.两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1.从而an+1+1=2(an+1).当n=1时,S2=2S1+1+5,a1+a2=2a1+6.又a1=5,a2=11.从而a2+1=2(a1+1).故总有an+1+1=2(an+1),nN*.又a1=5,an+10.从而,即an+1是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.(2)解：由(1)知an=32n-1.f(x)=a1x+a2x2+anxn,f(x)=a1+2a2x+nanxn-1,从而f(1)=a1+2a2+nan=(32-1)+2(322-1)+
10、n(32n-1)=3(2+222+n2n)-(1+2+n)=3n2n+1-(2+2n)=3(n2n+1-2n+1+2) .由上,知2f(1)-(23n2-13n)=12(n-1)2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)2n-(2n+1).(*)当n=1时,(*)式=0,2f(1)=23n2-13n;当n=2时,(*)式=-120,2f(1)23n2-13n;当n3时,n-10,又,(n-1)2n-(2n+1)0,即(*)0,从而2f(1)23n2-13n.或用数学归纳法：n3时,猜想2f(1)23n2-13n.由于n-10,只要证明2n2n+1.事实上,当n=3时,2323+1.不等式成立.设n=k时(k3),有2k2k+1,则2k+12(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1).k3,2k-10.从而,2k+12(k+1)+1+(2k-1)2(k+1)+1,即n=k+1时,亦有2n2n+1.综合,知2n2n+1对n3,nN*都成立.n3时,有2f(1)23n2-13n.综上,n=1时,2f(1)=23n2-13n;n=2时,2f(1)23n2-13n;n3时,2f(1)23n2-13n.
