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1、第三篇 对称性与不变性对称性的重要意义：伽利略变换下的不变性牛顿力学的基石之一。 洛仑兹变换下的不变性相对论的基石之一。对称性守恒律（量）21世纪的重大问题之一：理论越来越对称，实验越来越多地发现不对称 “矛盾”？！（参见李政道物理学的挑战）本篇主要内容：1、转动对称性问题自旋与角动量；2、粒子交换对称性问题全同粒子问题；3、时空交换对称性问题对称性与守恒律问题。第八章 自旋与角动量8.1 电子自旋1925年实验提出1928年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。自旋 描述微观粒子特征的基本物理量。一、 关于自旋的实验事实（原子物理已讨论） 纳黄线的精细结构；复杂（反常）塞曼效应；斯特恩-盖
2、拉赫实验。为了解释实验现象，引入新的自由度（在内禀空间中）。二、乌伦贝克-哥德斯密特假设1、 每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上（取作z轴）的投影只能取两个值 。2、 每个电子的自旋磁矩与自旋角动量的关系为 。 自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率： 朗德因子。与轨道角动量的回转比率比较： 朗德因子，知。注意：轨道角动量有经典对应 ，自旋角动量没有经典对应。如果设想为经典自转违背相对论。自旋是内禀自由度（对经典讲，是全新的概念）8.2 自旋算符与自旋波函数问题：自旋算符如何定义？自旋如何描述？基本思路 由对易关系定义算符。（无经典对应）已知“轨道”： 。一、自旋算符的对易关
3、系及自旋算符的本征值定义： 实验表明：。类比： 角量子数。有 自旋量子数。二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值令 泡利算符 。反对易关系： 。易知 三、自旋算符在表象的矩阵表示表象中 。现在求： 令 ： 。：。： ， 取最简形式，有 。这样自旋算符的矩阵表示就全部求出： 相应的泡利矩阵为： 四、电子自旋波函数取-表象：有 即， 。取有 ，构成正交归一完备集。任一自旋波函数可以展开成 。其中， 电子自旋向上的几率；电子自旋向下的几率。归一化要求有 。 引导学生自学教材P290-293的例题1-3。例：教材P294 例4。（只讲思路，不讲计算细节） 求的本征函数和本征值。求该本征态中的可能值、
4、相应几率和平均值。解： 。本征值方程为 。由久期方程 。将代入方程求a，得 由归一化条件，得 。于是有。同理得。将用展开 ，的几率；的几率。于是有。同理讨论的相关问题。作业：习题8.2、2，3，4，6。8.3 泡利方程 磁共振（重点讲清思路，不推导细节）一、考虑自旋后的电子波函数 将用展开，系数为的函数：。二、考虑自旋后的力学量算符一般形式： 。三、泡利方程将有电磁场的S-方程推广到包含自旋的情况。自旋磁矩 泡利方程。四、用分离变量法求解泡利方程令 。设 定态。（关于，前面已经讨论，本章注意力在自旋问题）五、顺磁共振和核磁共振1、自由电子在均匀恒定磁场中的运动： 守恒，电子的自旋状态要发生变化
5、（高能态低能态），必然要与外界交换能量。2、再加上正弦场： 。令 ，由可得 。3、电子自旋共振： 若t=0时，电子处于自旋向下态，即 。当外场（称为拉莫频率）时，有。此式表明，当 时，电子自旋向上的几率为1，自旋向下的几率为0。比较： z轴反转，能级跃迁。 可见，在半周期，与外界交换能量。这种在静磁场作用下，电子的磁能级分裂，并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象，称为电子自旋共振。可用类似的方法讨论核磁共振（自学教材或参考有关文献）。8.4 角动量算符的基本性质（一般性讨论 代数法的实例）一、角动量算符的定义式： 。二、角动量算符的本征值谱 设 1、引入新算符一系列对易关系
6、见教材P307 （9）（10）（11）。由此可得2、的本征值为 设m的上限为j，则 。 相邻的： 。可见 是的本征矢，本征值为，即有 。 同理有 。 个。3、的本征值为j为m的最大值，将作用于，并利用，有j的取值范围：设m有N个值，且已知 ，可见，j取零、整数和半整数。如轨道角动量j=l，电子自旋角动量。三、表象中角动量的矩阵表示已知 。问题： 由 （1） （2）的非零矩阵元为 对（1）式两边取共轭：，两边同乘以（1）式：，取实部 。非零矩阵元 ，取共轭 。再利用与的关系，得到非零矩阵元：，。作业：习题8.3、1，2，4；习题8.4、3。8.5 两个角动量的相加一、总角动量算符及其对易关系。二
7、、总角动量的本征值与本征矢1、无耦合表象与耦合表象 无耦合表象：以的共同本征态为基矢，记，有 耦合表象：以的共同本征态为基矢，记，有2、两种表象基矢之间的关系 C-G系数 将用展开 给定： 称为C-G系数，它是由“无耦合表象”到“耦合表象”的么正矩阵元。只要知道了C-G系数，就可以建立起两种基矢的关系。*三、C-G系数的求法及应用1、C-G系数不为零的条件（我们只给出结果，证明见教材）；。2、C-G系数的计算，C-G系数表（计算非常复杂，实用中可直接查表略）。*8.6 光谱的精细结构耦合：能级分裂精细结构（同样的n,l，能级有两个）。*8.7 复杂（反常）塞曼效应弱磁场中：分裂数不是三个，间隔
8、也不尽相同。复杂（反常）塞曼效应8.8 自旋单态与三重态一、总自旋角动量及其对易关系。对于电子，。二、的共同本征态取为力学量完全集：，。的共同本征态有4个：，。取为力学量完全集，显然，都是的本征态，本征值分别为。问题是，它们是否是的本征矢？是的本征矢。证： 。而 ， ，。 。同理可证明 。由 ，记的共同本征态为，则。不是的本征矢（自证）。但可以把的这两个本征态叠加，构成的本征态：令 ，要求 ，可得。由归一化条件 小结列表的共同本征态 S 1 1 1 0 三重态（对称） 1 -1 0 0 单态（反对称）作业：习题8.5、4，5；习题8.8、1，2，3。第九章 全同粒子9.1 全同性原理 全同粒子
9、体系的波函数一、全同粒子与全同性原理全同粒子：固有（内禀）性质（质量，电荷，自旋，）完全相同的粒子。量子力学中，全同粒子不可区分（经典可用轨道区分）全同性原理： 在全同粒子中，两全同粒子相互交换不改变体系的状态“全同性”不只是一个抽象的概念，它是一个可观测量见后面的讨论。（在量子力学中的粒子，要么“全同”，要么“很不同”。）二、的交换对称性交换算符。对两粒子体系，如氦原子中的两个电子：，显然，具有交换不变性交换对称性。推广到一般情况N个全同粒子组成的体系，具有交换不变性交换对称性 是一个守恒算符。三、波函数的交换性设 描述N个全同粒子组成的体系 。由全同性原理知与描述同一状态，即 。即交换对称
10、性全同粒子体系的波函数对粒子交换具有一定对称性：对称波函数；反对称波函数。守恒这种对称性不随时间而变化。四、波函数的交换对称性决定于粒子的自旋实验表明： 自旋为的半整数倍 费米子波函数是反对称的；自旋为的整数倍 玻色子波函数是对称的。五、全同费米体系的波函数 泡利不相容原理先以两粒子为例 忽略相互作用，如何由单粒子波函数构成体系的波函数？ 有交换简并。问题：能用作为体系波函数吗？否！不满足反对称要求，必须反对称化：若两粒子处于同一状态，即 泡利不相容原理（1925）。可推广到N个粒子组成的体系 见教材：繁而不难，这种表述不便。实际应用将采用“二次量子化”处理 用“粒子数表象”。因全同粒子体系
11、只数“数”，不标粒子坐标（不可区分）。六、全同玻色子体系的波函数以两粒子为例 波函数要对称化。1、 当时：。2、 当时：。推广到N个粒子体系的波函数请自学教材（略讲） 数学的排列组合问题。七、全同粒子体系的总波函数忽略自旋-轨道耦合：。波函数的交换对称性总波函数 空间波函数 自旋波函数费米子 反对称 对称 反对称 反对称 对称 玻色子 对称 对称 对称 反对称 反对称对二电子体系，总波函数的四种形式见教材P345。引导同学们自学教材中的例题 重点是P349 例2 如何构成总波函数。例：教材习题9.1、5 说明“全同性”是可以“观测”的。解： 没有交换对称性。两粒子的波函数可表为：。令，上式可化成 ，略去与本题无关的质心运动部分，相对运动部分的波函数为在的球壳中找到另一个粒子的几率为 几率密度。 交换反对称波函数。，这样，反对称的相对运动波函数可表为。由此可算出 。 交换对称波函数。类似可以求得。作业：习题9.1、1，2，4。9.2 氦原子 仲氦和正氦（应用实例）* 分子的形成一、：。二
