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1、多项式的因式分解知识点1:分解因式的定义讨论99399能被100整除吗？你是怎么想的？与同学交流。金正恩是这样做的：993992999929999(9921)99(991)(991)9998009998100其中有一个因数是100,所以原式能被100整除。在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数的积的形式。例题1(1)计算以下各式：(m4)(m4);(y3)2;3x(x1);m(abc);a(a1)(a1);(2)根据上面的算式填空：3x23x;m216;mambmc;y26y9a3a;在1中我们知道从左至右运算是整式乘法；在2中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。把一个多项式化成几个整式
2、的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。注意：分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。分解因式的结果必须是整式的乘积的形式。不是所有的多项式都能分解因式。分解因式要彻底，直到不能分解为止。知识点2:分解因式与整式乘法的关系如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的逆变形。实质上,整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。连一连9x24y2a(a1)24a28ab4b23a(a2)3a26a4(ab)2aA.x y (x y)(x y)2a2a(3x2y)(3x2y)、选择题1、以下各式从左到右的变形是分解因式的是A /2A. a(a b) a ab_24-B.a
3、2a1a(a2)122111C.xxx(x1)D.x(x)(x)yyyy2、以下因式分解正确的选项是2B.mm6(m2)(m3)3 2C.x x x(x 1)D.1a22abb2(1ab)(1ab)、思考题320173201632015能被5整除吗？为什么？知识点3:提公因式法1计算：们7137672999(2)多项式2x2y6x3y2中各项的公因式是什么?结论：各项系数是整数,系数的最大公约数是公因式的系数。各项都含有的字母的最低次幕的积是公因式的字母部分。公因式的系数与公因式的字母部分的积是这个多项式的公因式。例题1将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：1abac2x24x3mb2nbb练
4、习：将以下多项式进行分解因式:(1) 3x 627x221x225x 2xy y326 (m n) (n m)归纳：提取公因式的步骤：找公因式提公因式注意：提取公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负都变号，变形看奇偶。知识点4:提公因式法2多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如（ab）就是多项式（ab）d（ab）c的公因式。公因式是多项式中每一项都含有的公共因式，可以是数之，也可以是空生，也可以是多项式。23例题1多项式2（xy）6（xy）中各项的公因式是什么？写出以下多项式各项的公因式:a(x5)2b(x5)6(xy) 6(m n)3 12(n m)212(yx
5、)22 9(pq)12(qp) 5(m2)9(2m)例题2把以下各式分解因式 a(x y) b(y x)a(x3)2b(x3)金正恩：虽然a(xy)与b(yx)看上去没有公因式，但仔细观察可以发现(xy)与(yx)是互为相反数的，如果把其中一个提取一个“”号，则可以出现公因式，如yx(xy),(mn)3与(nm)2也是如此。练习请在以下各式等号右边的括号前填入“”或“”号，使得等式成立:(1)2a(a2)2yx(xy)3ba(ab)4(ba)2(ab)25mn(mn)2x2226st(st)把以下各式分解因式(1)x(ab)y(ab)23a(xy)(xy)2(3)6(pq)12(qp)4a(m
6、2)b(2m)252(yx)3(xy)26mn(mn)m(nm)把以下各式分解因式1)5(xy)310(yx)22(ba)2a(ab)b(ba)3) m(a b) n(b a)4m(mn)(pq)n(nm)(pq)金正恩：这些题目太弱了，不适合我这么强的男人。所以(abc)(abc)(bac)(bac)2.222形如ab的多项式分解因式的方法，即ab(ab)(ab),我们把它叫做分解因式的平方差公式，可以表达为：两个数的平方差，等于两数之和乘以两数之差。注意：常见的公式变式有22位置变式(ab)(ba)ab22符号变式(ab)(ab)(ab)(ab)ba22系数变式(3a2b)(3a2b)9a
7、4b指数变式(a3b2)(a3b2)(a3)2(b2)2a6b422项数变式(abc)(abc)a(bc)a(bc)a(bc)连用变式(ab)(ab)(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4把以下各式分解因式_2_21.2(1)2516x29a-b(3)x24y2481x44y2(5)a2b2m2616x481y42279(mn)(mn)3当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进行下一步分解把以下各式分解因式（1）x5x322ab32ab（3x316x43ax23ay4225 (m a) (n b)226 (4x 3y)2 16y22274(x 2y)2 9(2x y)2
8、228 (2a b c)2 (2a b c)29(2x1)(8x9)10x学习文档仅供参考知识点6:用完全平方公式分解因式22-222形如a2abb的多项式分解因式的方法，即a2abb(ab),我们称它为分解因式的完全平方公式，即两数的平方和加上或减去它们积的两倍，等于这两个数和或差的平方。1、以下各式是不是完全平方式?n a2 4a 44x 4y234a21 22ab -b4ab b26x 90.25将以下格式分解因式。(1)2x 14x 492x2 4xy4y2分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式22（1）x12xy36y216a424a2b29b4(
9、3)122-m3mn9n44x610x325,2一，2(5)4a4abb2.226ab8abc16c例2将以下各式分解因式C22（1）3ax6axy3ay2,2,2x4y4xy分析：对于一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，假设有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式公式分解因式。如果三项中有两项能写成两数或两式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取号，然后再用完全平方公式分解因式。,3 2(1) 4x 4x x2222xyxyx336x12x22242x4xy2y12(5)2a,1,2ab-b2_32_62x4x2x2分析：对于多项式a4a4大家
10、都会分解了，如果将a换成（mn）,你能写出替换后的式子吗？那又该如何分解呢？22412(xy)9(xy)(1) (x y) 18(x y) 813 m2 10m(a b) 25(a b)2224(mn)2(mn)(mn)(mn)稳固与练习1、填空22(1)假设一个正方形的面积是9x12xy4y,则这个正方形的边长是。(2)当k时，100x2kxy49y3、已知a为正整数，试说明(2a 1)1是8的倍数是一个完全平方式。_2_(3)计算：2006262006360(4)在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方4422、便记忆。原理是：如对于多项式xy,因式分解的
11、结果是(xy)(xy)(xy),假设取x922y9时，则各个因式的值是(xy)0,(xy)18,xy162,于是就可以把“018162”32作为一个六位数的密码，对于多项式4xxy,取x10,y10时，上述万法广生的密码可以是。22、多项式4x1加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式?一1-11、“1、4、利用因式分解计算：(122)(132)(142)(1-2)234n12125、已知xy1,求2xxy2y6、已知a2b14,2ab2求ab2，v、3.32,44ab4ab7、求证：无论x,y为何值,/2/24x4xy10y27的值恒为正。2228、假设a,b,c为三角形的三边，且满足ab
12、cabbcac,那么三角形是什么特殊三角形？为什么？知识点7:因式分解补充方法：十字相乘法对于某些首项系数是i的二次三项式x2pxq其中pab,qab的因式分解。2x(ab)xab(xa)(xb)整式乘法CD(x2)(x3)=；(x2)(x3)=；(x2)(x3)=(x2)(x3)=；(xa)(xb)=0分解因式2L- x5x6=；2人 xx6=；_2- xx6=；_2 x5x6=.2 x(ab)xab=022一般的，(xa)(xb)x(ab)xab.x(ab)xab(xa)(xb)2abp这就是说，对于二次三项式xpxq，假设能找到两个数a、b,使abq22则就有xpxqx(ab)xab(xa)(xb)o掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数
