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1、计算实验课微分方程数值解法数值计算实验题目、常微分方程部分:1. 使用四阶Runge-Kutta方法求解如下初值问题的近似解，并将结果与实 际值进行比较。2. 使用四阶Adams预估校正算法（PECP和PMECME方案）,初始值用四 阶Runge-Kutta方法提供，并将结果与实际值进行比较。u 1 t u 2, 2 t 3 , u 21 ;精度 10 5, h 0.5。实际解 u th 0.2。实际解 u tintu5u 1- , 1 t 2, u 12 ;精度 10 5,t二、偏微分方程部分：1 .用有限差分法求解如下Poisson方程u x, y cos3xsin y , , 0边界条件
2、为:u x,0 u x,10,0 x 1;ux 0,yux , y0, 0 y取n N,和h2 N ,作矩形剖分，网格节点为 差分格式为ih1 , yj jh2, i,j=0,1,N。边界条件为:ui 1,j 2ui,j ui 1,jh1ui,j 1 2ui,jh2ui 1cos3x sin yji, j1,2丄,N 1UioUiN0, i0丄,N,Uoj 5j,j1,L , N 1,uN ju N 1 j , j 1丄，N 1,1 ；80结果与精确解U2 1 一、x, y 9cos3x sin y 进行比较。求解方案：依次令N 4, 8,16, 32 ,取6位小数计算。用消元法求解,并就畀，
3、i,j佃3处列出差分解与精确解。其次，就N=32, 0.25, 0.5, 0.75及i=0, 2, 4,，30, 32画出差分解曲2UU2 sin t ,， 0 x 1， 0 t tx2ux 0,tux 1,t0， 0 tu x,0cos x， 0 x 1精确解为：2t1u x,t e cos x 1 cost，设空间步长h，时间步长0，J2.用向前、向后或Crank-Nicolson算法求解一维抛物型方程的初边值问题:tk=kt，网比 rh2。向前差分格式的计算方案:k 1 kUj Ujkk kUj 1 2Uj Uj 1h1sin tkj 1,2丄1,k1,2,L , N边值条件为kj=0，
4、巴1 kUoU1k 2u： h2sin tk， uk1nU1j=J，k 1 kUJ UJu；1 2u：kUj 1kSin tk，Ujn1 UJ 1 ;初值条件为j 0,1,2,L,J1a）取 h ,401b）取 h ,801c）取 h ,3200，此时r12，计算到时间层 t32001 ；11-,此时r ，计算到时间层t128001280021,此时r 2，观察计算结果；3200（二）向后差分格式的计算方案：kUj 1 +sin tk 1k 1 kUj ujuk1 2ukh2-j 1,2,L , J1,k1,2,L ,N边值条件为j=0,k 1 kU0 U0k 1k 1U1 2u0 hsin
5、tk 1，kU1j=J,k 1 kUj UjUj 1 2Uj Uj 1h2k 1sin tk， Uj 1kUj初值条件为Xj , 0cos Xj ,j 0,1,2,L , Ja）取hb）取h1401801一,此时r16001,此时r3200计算到时间层计算到时间层t1600t3200（三）六点对称差分格式的计算方案:k 1 kUj uj12h2k 1 kk 1Uj 1 Uj 12 UjkUjk 1 kUj 1 Uj 1sintk 1 sintk1,2,L ,J 1,k1,2丄边值条件为j=0，J 列 Crank-Nicolsonk 1 kU 1 u1k 1U1kUj格式,k 1Uj 1其中kk
6、 1Uj 1Uj 1初值条件为u Xj , 0cosXj,0,1,2,L , J1a）取 h 一401b）取 h 80,此时r 1，计算到时间层16001，此时r 2，计算到时间层t32003200t1600将以上三种数值方法的结果与精确解列表作比较，其中Xj，j 1,L ,4。4二维抛物型方程的初边值问题*:用六点对称差分格式，ADI法，预校法和LOD法求解二维抛物型方程的初边值问题：U2 2,2UU4 22，x, y G 0,10,1 , 0 ttx yU 0,y,tu 1, y, t 0, 0 y 1 , 0 tUy x,0, tUy x,1,t0, 0x1, 0 tu x,y, 0cos ysin x ,精确解为：U x, y, t2Tt .e 8 sin xcosy。设 xj=jh (j=0,1,J), yk=kh (k=0,1,K), tn=nt (n=0,1,N),差分解为 u；k ,则 边值条件为u0k uJk 0 , k=0,1,K;nnnnUj0Uj! , UjKUjK ! , J=0,1,J取空间步长h h, h2 ，时间步长 ，网比r 1 ,用六点对称差401600h2分格式，ADI法，预校法和LOD法分别计算到时间层t=1。3微分方程数值解法书第181页的实习题1、2
