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1、因式分解、导入:有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头.甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊？”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了 ”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下， 到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头！启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃二、知识点回顾：1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:2 2a -b=(a+b)(a -b);099(2) a 2ab+b =(a b);(3
2、) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);(4) a 3-b3=(a -b)(a 2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3.3 32.22(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数；n nn-1n-2n-32n-2n-1r(9) a +
3、b =(a+b)(a -a b+a b-ab +b )，其中 n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.三、专题讲解例1分解因式：(1)-2x 5n-1y n+4x 3n-1y n+2-2x n-1yn+4 ；(2)x 3-8y 3-z3 -6xyz ;解(1)原式=-2xn-1yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y2)2n-1 n 222=-2x y (x n-y )=-2xn-1yn(x n-y)2(xn+y)2. 原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)( -
4、Z)2 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式分析我们已经知道公式3 3223(a+b) =a +3a b+3ab +b的正确性，现将此公式变形为3.3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b).这个-式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.I ” ，33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc=:(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)2 2 2=(a+b+c)(
5、a +b +c -ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为3.3 3a +b +c -3abc=；a + b + c) (2a工TH=+ 1)(32 + 1)(51 + 1说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.+2c; *2ab -2bc -2ea=-7 (a + b + c) (a -b) 1 + (b -c) .拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多
6、项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵 +c-ai) J.333333333显然，当 a+b+c=0 时，贝U a +b +c =3abc ;当 a+b+c 0 时，贝U a +b +c -3abc 0,即卩 a +b +c 3 abc,而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令 x=a 0, y=b 0, z=c 0,则有等号成立的充要条件是x=y=z .这也是一个常用的结论.变式练习1 分解因式： X15+X14+X13+x2+x+1 .分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项X15开始，x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.解因为161514132八x -1
7、=(x -1)(x +x +x + x +x+1),所以+k + 1)-1康貳:r(八 ih J 窗消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例3分解因式：x3-9x+ 8.分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+93=(x -1)-9x+92=(x-1)(x +x+1)-9(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x .原式=x3-x-8
8、x+8/3=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1)-8(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法3将三次项x3拆成9x3-8x3.3 3原式=9x -8x -9x+83 3=(9x -9x)+( -8x +8)=9x(x+1)(x -1)-8(x-1)(x 2+x+1)2=(x-1)(x +x-8).解法4添加两项-x2+x2.3原式=x -9x+8322=x -x +x -9x+82=x (x-1)+(x -8)(x -1)2=(x-1)(x +x-8).说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察
9、，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.变式练习1分解因式：963(1) x +x+x-3;2 2(2) (m -1)(n -1)+4mn；4 224(x+1)+(x -1) +(x-1)；(4)a 3b-ab3+a2+b2+1.解(1)将-3拆成-1-1-1 .I.r、.963原式=x +x +x -1-1-1,963=(x -1)+(x -1)+(x -1)“ 363 八 “33“、z3=(x -1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x -1)z 3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x 2=(a -ab+1)(b +ab+1).说明(4)
10、是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式.这道题目使我们 体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.+x+1)(x 原式=(y+1)(y+2) -12=y +3y-10+2x.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来 运算，从而使运算过程简明清晰.+3).将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n
11、+2mn +1)-(m -2mn+n)2 2=(mn+1) -(m-n) =(mn+mn +1)( mn-m+n+1).(3) 将(x2-1)2拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1) 例 4 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2) -12.分析 将原式展开，是关于 x的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解设x2+x=y，则2+2(x2-1)2-(x 2-1)2+(x -1)4=:(x+1) 4+2(x+1) 2(x -1)2+(x-1)4-(x2-1)22 2 2 2 2=
12、(x+1) +(x-1) -(x -1)2 2 2 2 2 2=(2x +2) -(x -1) =(3x +1)(x +3).(4) 添加两项+ab-ab.十、3322原式=a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) : b(a+b)+1+(ab+b+1)2=a(a -b)+1(ab+b +1)2 2=(y -2)(y+5)=(x+x-2)(x +x+5)2=(x-1)(x+2)(x+x+5).说明 本题也可将x=(x+2)(x+4)(x+5x+8)
13、.说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.1.双十字相乘法2 2分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax +bxy+cy +dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我们将上式按x降幕排列，并把y当作常数，于是上式可变 形为2 22x -(5+7y)x-(22y-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为+x+1看作
14、一个整体，比如今x2+x+仁U, 样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.例5分解因式：2 2(x +3x+2)(4x +8x+3)-90.分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-902 2=(2x +5x+3)(2x +5x+2)-90.2令 y=2x +5x+2，则原式=y(y+1) -90=y2+y-90=(y+i0)(y -9)2 2=(2x2+5x+12)(2x 2+5x-7)2=(2x +5x+12)(2x+7)(x -1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.变式练习1.分解因式：2 2 2(x +4x+8)2+3x(x +4x+8)+2x .解设 x2+4x+8=y，则一 、 2 - - 2 -原式=y +3xy+2x =(y+2x)(y+x)2 2=(x +6x+8)(x +5x+8)-32即：-22y +35y-3=(2y-3)(-11y+1).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解（跻3 ）所以，原式
