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1、处理好四个关系：一是过程与结果的关系；二是学生自主学习与教师讲授的关系；三是合情推理与演绎推理的关系；四是关注生活情境与知识系统性的关系。下面我对第一对关系来谈谈我的看法。过程与结果的关系二者是相互作用、相互依存、相互转化的关系。例如，对于多边形内角和这节课而言；学生在已经掌握了三角形内角和180的前提下，来提示学生多边形问题能否转化我们已经学过的三角形来解决，让学生参与探索从一个顶点分割四边形、五边形、六边形，n边形为三角形的全过程，从而发现边数n与被分割成三角形个数关系，推出n边形内角和公式=(n-2)180。另外进一步可以提示学生这个点能不能选到多边形的内部，边上，外部，将多边形转化为三
2、角形，进一步得出n边形内角和公式。在这个学习过程中每一位学生都参与到问题的探究和讨论，学生学到的不仅是知识，更重要的是这种学习的方式方法，同时也提高了学生分析问题、解决问题能力。如何处理合情推理与演绎推理的关系一、新课标对“推理能力”提出了新的理念.2011年版的课标中课程内容中提出了10个核心概念，由原来的6个“关键词”延伸到10个“核心概念”，它们在课程内容中提出来，是想表明这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的，是数学课程内容的核心或主线，它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键。所以，把握好这些核心概念无论对于教师
3、教学和学生学习都是极为重要的。其中，核心概念-“推理能力”在2001年版的课标也提出，但此次标准提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：1、进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。标准指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业了进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么
4、业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”2、基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。3、强调推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，（四个学习领域：数与代数、图形与几何、统计与概率 、综合与实践，如：概念的形成，探索规律、运算法则、面积公式的推导等，都是类比和归纳推理出来的）它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程，（探索过程如：类比的研究问题函数的研究
5、、类比研究“与圆有关的位置关系”）例1：类比的研究问题函数的研究（正比例函数一次函数二次函数反比例函数） 正比例函数一次函数二次函数反比例函数 概念体现概念教学的一般过程 研究内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性 研究方法：画函数图象，观察归纳，数形结合等。 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。 函数性质的讨论三步曲 观察图象 ，描述变化规律 （上升、下降）结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随x的增大而增大或减小）用数学符号语言描述变化规律例2： 点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，实验与探究 圆和圆的位置关系研究的对象-两个图形间的位置关系研究的方法-
6、将两个图形间的位置关系分类，从几何、代数两方面分析特性。关注的问题-（1）几何特性（交点个数及区域分布）；（2）代数特性（“两图形间的距离”与半径的比较）。数形结合两方面讨论。它应贯穿于整个数学学习的环节，也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展。也就是说，我们在日常教学中，学生感到“证明”难学（主要表现在1、不愿意做几何证明题；2、读题马马虎虎，不深入，还没有理解题意就做题；3、不会分析题目的条件，尤其是题目中隐藏的条件；4、对于要求证的结论，不会跟题目所给出的条件相联系；5、证明过程写的杂乱无章，逻辑性不强；6、几何语言的运用不规范；7、对于要猜想得到并证明的结论更是难上加难等等。
7、）主要原因之一是，推理能力的形成与发展，它需要一个长期、循序渐进的过程，而且有着自身的特点和规律，他不是教师“教会”的，也不是学生“学会”的，而是学生自己“悟”出来的，“悟”出的道理、规律和思考方法等。要培养学生这种“悟”性，应贯穿于整个数学学习过程中。二、反思传统教学，在培养学生推理能力方面，存在以下几个教学误区。1、一种错觉：认为谈到推理仅指演绎推理。对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧，忽视了生动活泼的合情推理。事实上推理包括合情推理与演绎推理，合情推理一般分为类比推理和归纳推理。所以，以往只重视演绎推理做法是不合适的。因为
8、在现实生活中，从某种意义上说，人们遇到更多的是合情推理而不是严格的演绎推理。2、重视数学结论的传授与运用，忽视数学结论的形成过程；也就是说，在教学中轻视对概念的准确定义以及定理的推理论证，没有展开分析、讨论，只要求学生去记概念、定理，讲求会用就行，学生知其然，不知其所以然。因此，教师在数学课堂教学中，如何处理合情推理与演绎推理的关系，是培养学生推理能力的重要环节。三、在教学中，应当注意合情推理和演绎推理的关系.（课标P50）课标在实施建议中提到，在教学中注意处理合情推理与演绎推理的关系，建议：1、义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。如：在学习轴对称图形、线、底边上的中线
9、、高线重合（三线合一）等的时候，可以用就用折纸的方法使学生确定它们的存在。2、根据学生的年龄特征，通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认。3、让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理和初步的演绎推理证明能力。也就是说，教师“既教证明，又教猜想”。 在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验。例3： 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。（新课标P110例62）说明 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。为此可以设计如下的教学过程：发现结论。在透明纸上画出如图10的图：设 ， PA、PB是o 的两条切线，A ，B 是切点。
10、让学生操作：沿直线 OP将图形折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理（2）证明结论的正确性。如图11，连接 OA和 OB和OP。因为PA 和 PB是 的切线，则 PAO=PBO=900，即 POA和 POB均为直角三角形。又因为OA=OB 和OP=OP ，则 POA与POB 全等。于是有 PA=PB，APO=BPO这是通过演绎推理证明图形性质的过程。由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。4、教师要善于对素材进行加工，设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试
11、、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力。5、适应引导学生探索同一命题不同思路与方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。推理是数学思维的主要形式，发展学生的数学推理能力是数学课程的重要目标之一。标准指出：数学推理包括合情推理与演绎推理。那么，教学过程中如何正确处理两者的关系，使得学生在这两个方面能得到均衡的发展？一般说来，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，应用归纳和类比等方法推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理常常用于探索思路，发现结论；
12、演绎推理则用于证明结论。教师在教学过程中，可以引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动尝试发现规律，猜测结论，发现问题，或者解决问题的思路；这就是发展学生的合情推理能力。再通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要经过演绎推理的确认，然后引导和帮助学生学会演绎推理的方法，掌握演绎推理的基本格式，理解演绎论证的含义，逐步养成“言必有据”的良好习惯。在初中阶段，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。数学课程中的情境化设计会引起广泛的关注。至少有如下两个更深层的原因。从数学学习的认知本质看，数学学习离不开情境。事实上，学生学习知识
13、的过程本身是一个建构的过程，无论是对知识的理解，还是知识的运用，都离不开知识产生的环境和适用的范围。也就是说，学习中的建构过程总是与知识赖以产生意义的背景及环境关联在一起的，即知识与学习总是具有情境性的。遵循这样的认识逻辑，当前具有一定代表性意义的“情境认知”（Situated Cognition）理论，对学习的本质提供了一个基于知识、学习、理解的情境性认识之上的新视角。情境认知的重要特点在于“把个人认知放在更大的物理和社会的情境脉络中”1，突出强调个体与环境之间的互动和相互协调，更加注重与学习活动相适应的真实情境的设计，“学习情境的创设”成为与“知识的建构”紧密相连不可或缺的课程隐喻。从数学
14、课程及数学学习的特点看，情境化设计愈来愈显示出重要性和必要性。首先，数学的现代发展表明，数学与社会的联系越来越紧密，它渗透于人们生活的多个层面。数学应用全方位的发展被数学家们称之为数学发展史上的第四个高峰。这一发展趋势一方面为基础教育的数学课程学习提供了极为丰富多彩的现实环境素材，另一方面也需要通过情境化设计来从数学课程中加以反映。其次，数学学习的核心是学会数学的思考，掌握数学的思想方法。数学情境化设计能生动地揭示数学知识的发生发展过程，并引导学生在这一过程中掌握数学思想方法（如针对具体问题的数学模型方法），解决基于某种情境之中的数学问题，从而逐步体会数学的本质。第三，长期以来，特别是在完全以
15、应试为目标的传统教学中，数学教学走入一种定势：过分依赖学科纯形式化的逻辑结构和概念命题系统，知识的逻辑过程完全等同于课堂教学过程，学生所学的数学与现实分离开来。更为极端的做法是，即使是在学科系统内部的教学，也省去了一些必要的过程，仅就解题的技巧进行强化训练，学生不知道数学知识从哪里来，又能到哪里去。这种状况严重阻碍了学生数学素养的提高。在这种情况下，注重情景化设计，加强数学与学生生活的联系，就成为数学课程及课堂教学改革的一个重要的切入点。二、从几个实例看国际数学课程情境化设计的新特点进入21世纪以来，各国纷纷推出了新的数学课程方案。我们通过如下几个数学课程案例，可以窥视到国际数学课程情境化设计
16、的多样性和个性化特征。（一）注重情境的运用，通过数学的现实性实现数学化反映这一特点的是荷兰的“现实数学”课程。该课程与荷兰的数学家、数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal）所倡导的现实主义数学教育思想紧密相关。其基本特征有两点：第一，它是现实的（realizing），即注重情境的运用，从学生熟悉的现实生活开始和结束，作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密联系在一起。第二，它是实现的（realized），即现实数学教育与数学的“再发现”紧密相连。这里的“再发现”就是数学化，它包括水平数学化和垂直数学化。前者指由现实问题到数学问题的转化，通过这一过程，现实情境转化成了数学符号；后者是在前者之后的数学化，是从具体问
