多次相遇问题

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1、多次相遇问题”剖析一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、 乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍：（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。 题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。1迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从 A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了 1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了 3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走

2、过的路程 是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了 2个全程。所以第三次相遇共走了 5个 全程，依次类推得出：第 n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到 a的2倍。相遇次数全程个数再走全程数1 112 323 524 722n-12、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在 a 处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟

3、，甲走3份，乙走15份，两人 在c处相遇。我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2倍， 单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。I _ a 乙（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。1、迎面碰头相遇:如下图，假设甲、乙两人同时从 A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙 每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在 a处，此时甲走了 2份，乙走了 4份，再过1 分钟，甲共走了 4份

4、，乙共走了 8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次 相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为 2ns。甲学乙2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为 3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次 背面相遇在a处，2分钟后甲走了 2份，乙走了 14份，两人在b处相遇。第一次相遇， 两人走的路程差为2S,第二次相遇两人走的路程差为 4S,依次类推，可以得出：当第n 次追及相遇时，两人的路程差为 2n s。“直线型”总结（熟记） 两岸型：第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是 （2n-1）S 第n次背面追及相遇，两人的路程差是 （2n-1）S 单岸型：第n次迎面碰头相

5、遇，两人的路程和为2ns。第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。F面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型:模型一 :根据2倍关系求AB两地的距离。【例1】甲、乙两人在 A B两地间往返散步，甲从 A,乙从B同时出发，第一次相 遇点距B60米，当乙从A处返回时走了 10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?A、150B、170C、180D200【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在 a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。以乙为研究对象，根据 2倍关系，乙从a到A,再到b共走了第一 次相遇的2倍，即为60X 2=120米，Ab为10,则Aa的距离为120-1

6、0=110米，则AB距 离为 110+60=170 米。模型二:告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5 米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？A 2B 3C 4D 5【答舷iMfi】肌题目没说忌袒面誉是背血歸以內申f目遇的沪数都应诙计旺分幵讨论如罡罡迎面相遇，贝哇的全程的个戳为11( ”严”=110辺个,根擔迎面37.5 + 52 S60相1S力次，這的全程为2rl=5,求得时3孑如果是背面相遇，则走的全程数为U0 + C小

7、严一 J =11& + 1201,故在L分甜科内，车能臂面相遇。所以共相遇3次o52.5-37_560模型三:告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。【例3】甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，在 A B间不断往返行驶。甲车每 小时行20千米，乙车每小时行 50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距 60千米，则A、B相距多少千米？A、95B、100C、105D110【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20： 50=2： 5。将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象(也可以以乙)， 第10次迎面相遇走的全程数为 2

8、X 10-1=19个，甲走1个全程走2份，则走19个全程 可走19X 2=38份。7份是一个全程，则38份共有38-7=53份(当商是偶数时从甲的 一端数，0也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第 2个全程在甲的一端)从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为(2 X 18-1) X 2=70 份。共有70-7=10个全程，10为偶数在甲的端点。如下图：甲乙A 111右 I1B16 10则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为(60/4) X 7=105千点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次

9、数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将 研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例4】甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，在 A B间不断往返行驶。甲车每 小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距 40 千米，则A、B相距多少千米？A 90B、180C、270D 110【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为45: 36=5: 4,则将全程分成9份。则一个全程时甲走 5份，乙走4份。以甲为研究对象，第 2次相遇，走 的全程数为2X2-1=3个，则甲走的份数为3X 5=1

10、5份，一个全程为9份，则第2次相 遇甲走的份数转化为全程的个数为15* 9=16份，则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为(2 X3 - 1) X 5=25份，转化为全程的个数为 25* 9=27,则从甲端数 7份。如下 图：甲乙A 1i111iD23由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距(40/4) X 9=90千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。 将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比，则以时间为刻度，画出两人到达对岸的 路线图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本

11、题中，甲、乙走到端点用的时间比为36： 45=4： 5。如下图：(Si 2460101214 ias-t S根据路线图看出甲乙第 2次相遇和第3次相遇的交点E和0,根据三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，则求得第2次相遇距A地的比例为S/3，同理DO:ON=7 2,则第37S S 4S=939次相遇距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为为40千米，则S=90千米。点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断 是迎面相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则 说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。用时注意：一般题干涉及到的相遇次

12、数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量 时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻 度画大。模型四:告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。【例5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时。甲步 行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近。A 1B 2C、3D 49030 宁30 三 56半小时两人共走的全程数为404-150个。对于单岸型，相遇6个全程,【答案及解析】Bo利用“沙漏模型”0甲乙走到端点用的时间比为150: 40=15: 4,则是迎面第三次相遇（由前边

13、公式推出）画出s-t图:观察上图可知，可第3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇 （交点由同一点 引出）。而在三次迎面相遇中第 2次相遇离B地最近，并且可根据三角形相似求出离 B 地的距离。【例6】河道赛道长120米，水流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船 静水速度为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒 后甲、乙船第二次迎面相遇？A 48B、50C、52D、54【答案及解析】Co由题知，得出如下关系:顺流逆流甲8(15)4(30)乙6(20)2(60)注：（）中为走完全程的时间假设A到B是顺流，由上表可知甲、乙两人第2次迎面相遇共有4个全程。由于甲

14、的速度快，则第2次相遇前甲已走了 2个全程。共15+30=45秒。当第45秒时乙走了一 个顺流全程20秒和25秒的逆流，走的路程为 25X 2=50米，则在剩余的70米内，甲乙 分别以顺流和逆流相遇时间为t ,则有70=(8+2) X t ,求得t=7秒，则共用时间45+7=52秒。本题同样可用“沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关系如下：顺流逆流甲36乙412根据时间的关系，得出s-t图像，如下:=口i_I_乙S2)26 6 1D 114 15 19 2Ds-t圏(甲对实嫌，乙为删)观察上图，可看出第二次迎面相遇在p点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一个顺流，一

15、个逆流，另外 EP段为顺流，根据三角形相似可求出走EP用的时间7 sEP:PN=EF:MN=7：8由上表，求出走 EP用的时间为，则甲共走的时间为15+30+7=52。、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反向迎面相遇（不可能背面相遇）， 一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇 （不可能迎面相遇）。分开讨论如下：（一）甲、乙两人从A地同时反向出发：如下图，一个周长分成 4份，假设甲是顺时针每分钟走 1份到B,乙是逆时针每分 钟走3份到B,则第一次相遇两人走了 1个周长，则再过1分仲，甲再走1份到C,同 样乙走3份也到C,则第二次相遇共走了 2个周长，依次类推，可得出：第 n次迎面相 遇共走了 n圈。（二）甲、乙两