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1、第5讲 四形面积问题一、解答题 1已知椭圆C：+=1（ab0）的两个焦点分别为F1（2，0），F2（2，0），离心率为过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点（）求椭圆C的方程；（）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程【答案】（）；（）y=【详解】（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x3，y3）联立，化为（1+3k2）x212k2x+12k26=0，x1+x2=，y
2、1+y2=k（x1+x24）=，线段AB的中点D，直线OD的方程为：x+3ky=0（k0）联立，解得=，x3=3ky3四边形MF1NF2为矩形，=0，（x32，y3）（x32，y3）=0，=0，=0，解得k=，故直线方程为y=考点：椭圆的简单性质2设椭圆的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为，最小值为（）求椭圆E的标准方程；（）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN的面积的最大值【答案】（I）； （）2.【分析】（）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程；（）对直线PQ与直线MN的斜率是否都
3、存在分两种情况讨论当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围结合得出四边形PMQN面积的最大值【详解】（）设椭圆E的焦距为，则有，解得，因此，椭圆E的方程为；（）如下图所示，椭圆E的上焦点为当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，此时，四边形PMQN的面积为；当
4、直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为，则直线MN的方程为，设点、，将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得，由韦达定理可得， ，同理可得，所以，四边形PMQN的面积为 ，令，则，所以，所以，由二次函数的基本性质可知，当，所以，综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题3设椭圆（ab0）的焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），直线l：xa2交x轴于点A，且（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交
5、于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为【分析】（1）由题意，|F1F2|2c2，A（a2，0），利用，可得F2为AF1的中点，从而可得椭圆方程；（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：yk（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论【详解】（1）由题意，|F1F2|2c2，A（a2，0）F2为AF1的中点a23，b22椭圆方程为（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|，此时|MN|2a2，四边
6、形DMEN的面积同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：yk（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k26）0设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2，x1x2所以，|x1x2|，所以|DE|x1x2|，同理|MN|.所以四边形的面积令u，则S4因为u2，当k1时，u2，S，且S是以u为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键4设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0
7、）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】()答案见解析；().【详解】试题分析：（）利用椭圆定义求方程；（）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值试题解析：（）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（）当与轴不垂直时，设的方程为，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边
8、形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.5已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.（I）求椭圆的离心率；（II）设点在线段上，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.（i）求直线的斜率；（ii）求椭圆的方程.
9、【答案】（）.（）（）.（ii）.【分析】根据的面积为列出一个关于的等式，削去求出离心率；根据关系巧设直线的方程，与直线FP的方程联立解出焦点的坐标，利用|FQ|=解出斜率，把直线FP的方程与椭圆方程联立，解出点坐标，分别求出和的面积，利用四边形的面积为，解出，得出椭圆的标准方程.【详解】（）设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.所以，椭圆的离心率为.（）（）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为.由（）知，可得直线AE的方程为，即，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线FP的斜率为.（ii）解：由，可得，故椭
10、圆方程可以表示为.由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去）或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.所以，椭圆的方程为.【点睛】列出一个关于 的等式，可以求离心率；列出一个关于 的不等式，可以求离心率的取值范围.“减元”思想是解决解析几何问题的重要思想，巧设直线方程利用题目条件列方程求解斜率，求椭圆方程的基本方法就是待定系数法，根据已知条件列方程通过解方程求出待定系数.6已知点在椭圆:（）上，且点到左焦点的距离为3.（1）求椭圆
11、的标准方程；（2）设点关于坐标原点的对称点为，又两点在椭圆上，且，求凸四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意点到左焦点的距离为3，结合两点间距离公式可求得的值，将点代入椭圆，根据椭圆中的关系式即可求得，进而得椭圆的标准方程.（2）由可设直线的方程为，联立椭圆方程，整理变形根据两个交点可令求得的范围.设，由韦达定理表示出，由弦长公式求得，点到直线距离公式求得到的距离，结合用表示出，令，可化简为，再令，利用导函数求得的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以.设左焦点（），则由得，解得.又，于是，解得（舍负），进而.故椭圆的标准方程为.（2）因为，可设直线的
12、方程为（），联立并整理得.由，解得.设，则，.所以.又与之间的距离即到的距离，且.所以四边形的面积.设，由可得，则，记之为函数，则，易知在区间内单调递增，在区间内单调递减.故的最大值为，此时，解得，符合题意，所以四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，弦长公式及点到直线距离公式的用法，椭圆中四边形面积问题的解法，利用导数求函数的最值，换元法在函数中的应用，综合性强，属于难题.7如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1MB1，NB2MB2.（1）求动点N的轨迹方程；（2）求四边形MB
13、2NB1面积的最大值【答案】（1）1(x0)；（2）.【分析】（1）设N(x，y)，M(x0，y0)(x00)，求出直线NB1 ，直线NB2，两式相乘，结合，即可求解.（2）设MB1为，可得直线NB1，直线NB2，两式联立可得xN，由S|B1B2|(|xM|xN|)，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）设N(x，y)，M(x0，y0)(x00)由题知B1(0，3)，B2(0，3)，所以kMB1，kMB2.因为MB1NB1，MB2NB2，所以直线NB1：y3x，直线NB2：y3x，得y29x2.又因为，所以y29x22x2，整理得动点N的轨迹方程为1(x0)（2）由（1），设MB1为 可得得直
14、线NB1：yx3，直线NB2：y2kx3，联立解得x，即xN，故四边形MB2NB1的面积S|B1B2|(|xM|xN|)3，当且仅当|k|时，S取得最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆中的四边形面积问题，解题的关键求出，考查了计算求解能力.8设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可得，解得，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积 当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为
