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1、-96双曲线1双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c0：(1)当_时，P点的轨迹是双曲线；(2)当ac时，P点的轨迹是_；(3)当_时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质*围*a或*a，yR*R，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y*y*离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半
2、实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)难点正本疑点清源1双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的RtOAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c易见c2a2b2，若记AOB，则e2双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值(2)2a|F1F2|时，动点轨迹不存在3渐近线与离心率1 (a0，b0)的一条渐近线的斜率为可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线*口的大小1已知点F1(4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是_2双曲线m*2y2
3、1的虚轴长是实轴长的2倍，则m_3已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_4(2011*)已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_5若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()AB5 CD2题型一双曲线的定义例1已知定点A(0,7)、B(0，7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支若
4、是一支，是哪一支，以确保解答的正确性 在平面直角坐标系*Oy中，已知ABC的顶点A(6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则_题型二双曲线的标准方程例2根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3,2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)探究提高求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程为a*by0，可设双曲线方程为a2*2b2y2 (0) (1)若双曲线的渐近线方程为y3*，它的一个焦点是(，0)，求双曲线的方程；(2)已知双曲线的渐近线方程为y*，并且焦
5、点都在圆*2y2100上，求双曲线的方程题型三双曲线的几何性质例3中心在原点，焦点在*轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1如图，已知F1、F2为双曲线1 (a0，b0)的焦点，过F2作垂直于*轴的直线交双曲线于点
6、P，且PF1F230，求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程题型四直线与双曲线的位置关系例4过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积；(3)求证：|AF2|BF2|AF1|BF1|探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于*(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于A(*1，y1)，B(*2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|*1*2| 直线
7、l：yk*1与双曲线C：2*2y21的右支交于不同的两点A、B(1)*数k的取值*围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由10忽视直线与双曲线相交的判断致误试题：(14分)已知双曲线*21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？学生解答展示审题视角(1)本题属探索性问题若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验规*解答解设点A(*1，y1)，B(*2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(*0，y
8、0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意2分设经过点P的直线l的方程为y1k(*1)，即yk*1k3分由得(2k2)*22k(1k)*(1k)220 (2k20)7分*0由题意，得1，解得k29分当k2时，方程成为2*24*30162480，b0)的渐近线方程是y*，1 (a0，b0)的渐近线方程是y*4若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点课时规*训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1双曲线中
9、心在原点，且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A.y21 B*21C.1 D.12设F1、F2分别是双曲线*21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|等于()A.B2C.D23若双曲线1 (a0，b0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()Ay*By*Cy*Dy2*4(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C2 D3二、填空题5已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为_6如
10、图，点P是双曲线1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|F2M|_.7已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点若ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面积之比SAF1F2SBF1F221，则双曲线的离心率为_三、解答题8已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积B组专项能力提升题组一、选择题1已知点F1(，0)、F2(，0)，
11、动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A.B.C.D22已知点F是双曲线1 (a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于*轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值*围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2，)3若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21 (a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值*围为()A32，) B32，)C.D.二、填空题4设双曲线C：1 (a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y*交于点A(不同于O点)，则OAF的面积为_5设点F1，F2是双曲线*21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|P
