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1、3.3.1 利用导数判断函数的单调性(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1函数yf(x)的图象如图334所示，则导函数yf(x)的图象可能是()图334【解析】由函数yf(x)的图象可知，在区间(，0)和(0，)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(，0)和(0，)上，f(x)均小于0，故选D.【答案】D2函数f(x)2xsin x在(，)上()A是增函数B是减函数C有最大值 D有最小值【解析】cos x1，f(x)2cos x0恒成立，f(x)在(，)上为增函数【答案】A3函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0) B(0，)C(，3)和(1，) D(3,1)【解析】y2xex(
2、3x2)ex(x22x3)ex，令(x22x3)ex0，由于ex0，则x22x30，解得3x1，所以函数的单调递增区间是(3,1)【答案】D4已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)Df(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)【答案】A5若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)【解析】由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为
3、1，)【答案】D二、填空题6若函数f(x)x3bx2cxd的单调递减区间为(1，2)，则b_，c_.【解析】f(x)3x22bxc，由题意知1x2是不等式f(x)0的解，即1,2是方程3x22bxc0的两个根，把1,2分别代入方程，解得b，c6.【答案】67函数yax31在(，)上是减函数，则a的取值范围为_. 【导学号：25650125】【解析】y3ax20恒成立，解得a0.而a0时，y1，不是减函数，a0.【答案】a0；若在(a，b)内f(x)存在，则f(x)必为单调函数；若在(a，b)内对任意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)内是增函数；若可导函数在(a，b)内有f(x)0，则在(
4、a，b)内有f(x)0.【解析】对于，可以存在x0，使f(x0)0不影响区间内函数的单调性；对于，导数f(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于，f(x)0，得cos x0，即cos x.又x(0,2)，0x或x2.同理，令f(x)0，得x0，解得x；令20，解得0x，该函数的单调递增区间为，单调递减区间为.10若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)内为增函数，试求实数a的取值范围【解】函数求导得f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0得x1或xa1.因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当x(1,4)时，f(x)0，又因为函数在区间(
5、6，)内为增函数，所以当x(6，)时，f(x)0，所以4a16，所以5a7，即实数a的取值范围为5,7能力提升1已知函数yxf(x)的图象如图335所示，下面四个图象中能大致表示yf(x)的图象的是()图335【解析】由题图可知，当x1时，xf(x)0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当1x0，所以f(x)0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0x1时，xf(x)0，所以f(x)1时，xf(x)0，所以f(x)0，此时原函数为增函数，图象应是上升的，由上述分析，可知选C.【答案】C2设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axb时，有()Af(x)g(x)Bf(x)
6、g(x)Cf(x)g(a)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)【解析】f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当axb时，f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)故选C.【答案】C3若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)ax2.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f(x)0有解又因为函数f(x)的定义域为(0，)所以ax22x10在(0，)内有解当a0时，yax22x1为开口向上的抛物线，ax22x10在(0，)内恒有解；当a0时，yax22x1为开口向下的抛物线，
7、若ax22x10在(0，)内恒有解，则解得1a0；当a0时，显然符合题意综合上述，a的取值范围是1，)【答案】1，)4已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方. 【导学号：25650126】【解】(1)f(x)3x2a，3x2a0在R上恒成立，即a3x2在R上恒成立，又y3x20，当a0时，f(x)x3ax1在R上是增函数，又a0时，f(x)3x2不恒为0，a0.(2)3x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在(1，1)上恒成立但当x(1，1)时，03x23，a3，即当a3时，f(x)在(1,1)上单调递减(3)证明：取x1，得f(1)a2a，即存在点(1，a2)在f(x)x3ax1的图象上，且在直线ya 的下方.1
