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1、哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第I卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的)1. 已知复数，则集合中元素的个数是 A4 B3 C2D无数否开始结束 输出是2. 函数的图像关于直线对称，且在单调递减，则的解集为A B C D3执行如图程序框图其输出结果是 AB CD4. 已知平面，则“”是“”成立的A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长都是，该几何体的体积为A正视图侧视图BC 俯视图D6. 直线被圆所截得弦的长度为，则实数的值是A B C D7是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒南岗校区群力校区20.041 2 3 6 9 30.0596 2 10.062 93
3、 3 10.0796 40.08770.092 4 6物，也称为可入肺颗粒物如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是 A南岗校区 B群力校区 C南岗、群力两个校区相等 D无法确定8. 三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 9用数学归纳法证明不等式“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是 A. B. C. D.10双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，双曲线与抛物线的准线交于，两点，则双曲线的实轴长为 A. B C D11. 定义在
4、R上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为A B C D12已知数列满足，且，则的整数部分是A0 B1 C2 D3哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）第卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13. 在等比数列中，则 14. 现要将四名大学生分配到两所学校实习，则不同分配方法有 种15我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为
5、 16. 向量，函数的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）将函数图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数 图像，求的对称轴方程和对称中心坐标18.（本小题满分12分）某企业有位员工.拟在新年联欢会中，增加一个摸球兑奖的环节，规定：每位员工从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该员工所获的中奖额.企业预算抽奖总额为元，共提出两种方案.方案一：袋中所装的个球中有两个球所标的面值为元，另外两个标的面值为元；方案二：袋中所装的
6、个球中有两个球所标的面值为元，另外两个标的面值为元（）求两种方案中，某员工获奖金额的分布列；（）在两种方案中，请帮助该企业选择一个适合的方案，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，面为矩形，为的中点，与交于点，面（）证明：；（）若，求二面角的余弦值 20.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，（）求椭圆的方程；（）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数， （）若，且存在单调递减区间，求的取值范围； （）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段 的中点作轴的垂
7、线分别交、于点、，是否存在点，使在点处的切线与在点处的切线平行？如果存在，求出点的横坐标，如果不存在，说明理由. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，（）求证：；（）若，求23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知点，点在曲线：上.（）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；（）求的最小值.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知正实数，满足：.（）求的最小值；（）设函数，对
8、于（）中求得的，是否存在实数，使得成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由 哈尔滨三中2015年第四次模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：题号123456789101112答案ABBAACACCDDC二、填空题：13. 14. 15. 16. 三、解答题：17. ，的最大值为-6分（2）,对称轴为直线,对称中心为，-12分18. (1) 设方案一某员工获奖金额为，则的可能取值为 , 则的分布列为2060100-4分设方案二某员工获奖金额为，则的可能取值为 ,则的分布列为406080-8分(2),若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配更集中，方案二的方差比方案
9、一的方差小，所以应该选择方案二 -12分若回答由于两种方案的奖励额的期望相等，希望奖金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以应该选择方案一 -12分19（1）由与相似，知，又平面，平面，；-6分（2）以为坐标原点、所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， ，设平面，平面的法向量分别为，则，； ，二面角的余弦值为-12分20.(1) ,所求的方程为.-4分（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得， -6分由，得-又设中点为，得-10分将代入得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为-12分21. 解：（1）时，设函数则因为函数存在单调递减区间，所以有解，即，有的解。 时，为开口向上的抛物线，总有有解； 时，为开口向下的抛物线，而总有的解；则，且方程至少有一个正根，此时，。综上所述，的取值范围为-4分（2）设点、的坐标是则点、的横坐标为点在处的切线斜率为点处的切线斜率为假设点处的切线与在点处的切线平行，则k1=k2即则 . 设，则令则因为时，所以r(t)在上单调递增.故则.这与矛盾，假设不成立.故在点处的切线与在点处的切线不平行. -12分22.（1）连接，,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则-分（2）由（1）知， ，与相似，则-分因为，所以23.（1）5分（2）10分24（1），5分（2），当且仅当时成立，此时，存在使成立10分2
