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1、一解答题（共 10小题）2 21. 已知椭圆的左右顶点分别为A_, A2,右焦点F的坐标1为（近，0）,点P坐标为（-2, 2）,且直线PAx轴，过点P作直线与椭圆E 交于A，B两点（A, B在第一象限且点A在点B的上方），直线OP与AA2交于 点Q,连接QA1.（1）求椭圆 E 的方程；（2）设直线QA的斜率为k，直线A1B的斜率为k2，问：k1k2的斜率乘积是否 为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.【分析（1）利用椭圆的焦点坐标，以及已知条件求出a, c,然后求解b,求解 椭圆方程.（2）设 A （xi，yi）, B （x2，y2）,设直线 AB 的方程为：x=my - 2m - 2
2、，联立直 线与椭圆方程，通过韦达定理，点Q在直线OP上，所以可设Q （-t, t）,又Q在直线AA2 上,通过，化简斜率乘积推出结果.2-t2 xr-2x i + yi_22 2【解答】解：（1）设椭圆方程为且 b2 2由题意椭圆的左右顶点分别为Aq, A2，1 2右焦点F的坐标为真，0）,点P坐标为（-2, 2）,且直线PAdx轴，可知：，所以b=1,I2 c所以椭圆的方程为y2=b（2）是定值，定值为丄.4设 A（x1， y1）， B（x2， y2），因为直线 AB 过点 P（- 2， 2），设直线 AB 的方程为： x=my- 2m- 2，联立* 鼻一 d（n+4）/-（4n+4m）y+
3、（4n+E!in）二0、工二I呼-2叩- 2因为点Q在直线OP上，所以可设Q(-t, t).所111 k 2_七+ 2(辺+R +対-乃 一一5匕也)(昭2)匕严)二二丄(m2+2m) (y 1y2-2(yL+y2)+4)【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置 关系的综合应用，考查设而不求转化思想的应用2. 设动点M到定点A (- 1, 0)的距离为4,点B与定点A关于原点对称，线 段 BM 的中垂线与 AM， BM 分别交于点 P， Q( I ) 求点 P 的轨迹 C 方程, Q 的轨迹 D 的方程；(II)若过点A作互相垂直的两直线分别与曲线C交于E，F两点
4、，与曲线D交 于G，H两点，求四边形EGFH面积的取值范围.【分析】(I)连接PB,利用椭圆的定义转化求解P的轨迹方程，连结0Q,通 过，求解轨迹Q的方程.(II)通过EF是否与x轴的关系，转化求解四边形EGFH面积或表达式，斜率不 为 0 时设出直线方程，与椭圆联立利用弦长公式以及韦达定理，表示四边形的面积，利用函数的现在求解函数的最值即可【解答】解：（1）连接PB, 线段BM的中垂线与AM, BM分别交于点P, Q,|PM|=|PB|,|PA|+|PB|=|AM|P的轨迹C的方程为当二1（2分）连结OQ,TO为AB中点，|qq|轨迹Q的方程为x2+y2=4 （4分）(II )(1)当 EF
5、 在 K 轴上时，|EF| 二4,四边形EGFH积斗X 4X沁二皿（5分）当测与玄轴垂直时，|丽|手1=3|GH| = 4四边形EGFH面积令X3X q二$2 2设即方程为x=my-l （详0） f代肯+吉-二1得(3id2 + 4) y2-6ny-9=Q设E(S1)小 F(x2叨则珥+吩盘= (-6m) 2+4X(3m2+4)X9=144 (m2+1)7汀討( 8 分)二 1 珅itAi3m2+43m2+4汽_12(in+D3ip2+4 3m2 + 4( 9 分)TEF丄GH,且 GH 过点 A (- 1, 0),程为 X二4厂1,即 ms:+y4in=C,w丨叫ro2+lro2+lm2 +
6、 l（10 分）四边形即FH面积壬x丄Z堂也 X3id + 4如宝12Xm2+lt3id2+4= 12X寺（i一）,值域为6出）（11 分）点评】本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，难度比较大3.已知圆0： x2+y2=4上一动点A,过点A作AB丄x轴，垂足为B点，AB中点 为 P （I）当A在圆0上运动时，求点P的轨迹E的方程；（II）过点卩（-3。）的直线丨与E交于M, N两点，当|MN|=2时，求线段MN 的垂直平分线方程.【分析】（I）设P （x， y），则A （x， 2y）将A （x， 2y）代入圆0： x2+y2=4方 程得：点 P 的轨迹.（II
7、）由题意可设直线l方程为：沪町-辽，与椭圆方程联立，利用韦达定理以 及中点坐标公式，弦长公式求出m,然后求解直线方程.【解答】解：（I）设P （x，y），则A （x，2y），2 n将A （x，2y）代入圆0： x2+y2=4方程得：点P的轨迹氐丄（注：学生不写yHO也不扣分）（II）由题意可设直线l方程为：k二晒-：3，所以nF 迈.当nF-.t，中点纵坐标坯二I；% =，代入x=my - 1得： 中点横坐标，斜率为迈3故MN的垂直平分线方程为：2时匹沪- 3 = 0当nF.;W，同理可得MN的垂直平分线方程为：畐-匹沪 3 = 0所以MN的垂直平分线方程为：辽评辽二0或/ 3 = 0.【点评
8、】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系 的应用，考查转化思想以及计算能力.2 214. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F, F2，离心率为寺,且 bzP为椭圆C上的动点，且满足二X直（入。），|直|二|丽訂，面积 的最大值为 4.（1）求动点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程.（2）若点P不在x轴上，过点F2作OP的平行线交曲线C于M、N两个不同的 点，求APM”面积的最大值.【分析（1）由椭圆的定义|PF+ |PF2l=2a，推出|二|而J + |丽|二鮎，求出E的方程为（x - c） 2+y2=4a2，当点Q到F1F2的距离为2a时，S QF1F2最大，1 2 1 2
9、 求出斗殳，b= 3，动点Q的轨迹E的方程以及椭圆C的方程.（2）设M（X, yx），N （x2，y2），直线MN的方程为x=my+1，联立直线与椭圆 方程，利用韦达定理以及弦长公式表示三角形的面积，通过二次函数的性质求解 Smn的最大值.【解答】解：（1）由椭圆的定义|PF+ |PF2l=2a，又|直|二|丽訂I亟|二|亟丨+ |丽|二鮎动点轨迹E是以F2 (c, 0)为圆心，半径为2a的圆, E 的方程为(x - c) 2+y2=4a5. 已知椭圆C：计+吕-二1的左焦点为F，已知M (-4, 0)，过M作斜率不为0的直线I,与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B.当点Q到F2的
10、距离为2a时，S QF1F2最大1 2 1 2由题知：4+3 in2令: t=4+3m2当t=i时，S“MN的最大值为一怎【点评】本题考查椭圆的简单性质直线与椭圆的位置关系以及圆的位置关系，考 查转化思想以及计算能力即ac=2，又 -2a 2.a=2, H故动点Q的轨迹E的方程为(X - 1) 2+y2=16椭圆C的方程为兔-+豊二1y1), N (x2，y2),直线 MN 的方程为 x=my+12）设 M（x1，=ny+lu3i2+4y2=12显然 0,则，yy4+3in4+3roTPMN，:仝PMN 仝 CW 2J1/2 吒 4十赫消 x 得（4+3m2） y2+6my - 12=0（V
11、1 + 宇2）2 -4 珥 V? =2vl C4+3id2 2【分析】（I）设x=my - 4代入消x可得（3m2+4）y2 - 24my+36=0,43根据韦达定理可得直线AB的方程，即可证明，（II）根据三角形面积公式求得S的表达式，构造导数，求出函数的取值范围即 可得到S的取值范围.2 2【解答 证明：（I）设x=my - 4代入消x可得（3m2+4）y2 - 24my+36=0，设 A （xl，yl），B （x2，y2），则 B （x2，-y2），则直线ABAB过定点F （- 1，0）；36，|m|2,(II).S冷 |MF|y+y2l= X|1= d+43|m|-F-r-r设 |m|
12、=t，则 t2二阮+半，t2,（t）二3二E2），f （t）在（2，+x）上单调递增, .f （t） （8，+x），应CO,鲁）【点评】本题主要考查了椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，知识点多，应熟练掌握椭圆的一些基本性质2 26. 已知椭圆C：（ab0）的离心率为，过椭圆上顶点和右顶点的且b占直线与圆0： x2+y2=相切，0为坐标原点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若斜率为1的直线丨交椭圆C于A，B两点（A在x轴上方），交x轴正半轴于P点，若PB+3PAi，求厶A0B的面积.【分析】（1）利用已知条件列出方程组，转化求解椭圆C的方程；（2）设出直线方程与椭圆联立，通过韦达定理以
13、及向量关系，转化求解三角形 的面积即可【解答】解：（1）设切线为bx+ay - ab=0，贝F屠又因为（52 2，解得a2=4, b2=3,所以椭圆C的方程分）I 二 y+ri（2）设直线l为x=y+n （n0），联立，0，可得 OVn2V7. （7 分）又因为PB + 3PA=0,可得-3y广y2（8分）由解得比辛 陀二晋,_ 9 _ 9j-代入，解得,（10分）497n 422L.（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力.7. 设椭圆的离心率为立，以椭圆四个顶点为顶点的四异b22边形的面积为王迈.（1）求 E 的方程；（2）过E的左
14、焦点F1作直线11与E交于A, B两点，过右焦点F2作直线12与E 交于C，D两点，且112，以A, B, C, D为顶点的四边形的面积5=|，求11与 12的方程.【分析（1）利用已知条件以及离心率转化求解a，b即可得到椭圆方程.2c（2）设 l2： x=my+1，代入亍+ 护二得（m2+2） y2+2my - 1=0，设 C （x】，y】），D（x2, y2），利用韦达定理以及AB与CD之间的距离为.求解四边形的椭圆E的方程面积，推出结果即可【解答】解：（1）由已知得：，解得甲，2, Z1,且 Z22（2）设 l2： x=my+1，代入专+ /二 1得（m2+2） y2+2my-1=0,2m设 C （ x1， y1），D （ x2 , y2 ）,则珥十 m +2I CD |二Q1+
