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1、、.n,2例1、用数列极限定义证明：lim=0n8n2一7I一01n2一7=时n,2（2；不等号（1）成立的条件是2vn；不等号（2）成立的条件是7vn；不等号（3）成立的条件是12；不等号（4）成立的条件是n芈，故取N=max7,2。这样当nN时，有臼因为n7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n-，所以n,2不等式（4）能成立，因此当nN时，上述系列不等式均成立,亦即当nN时，1-014时n,n2n2（1）I一01=,故取N=max4,则当nN时，上面的不等式都成立。注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如n（n,1）2n,1例3、已
2、知a二占斗-，证明数列a的极限是零。左（n+1）2n证明：0（设0匕1），欲使Ia01=1*I=1曳成立n（n+1）2（n+1）2n+111由不等式-1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n,1数n都是成立的，因此取N=丄-1，则当nN时，不等号（2）成立，进而上述系列等式和不等式均成立，所以当nN时，1a一0|e。n在上面的证明中，设定0VV1,而数列极限定义中的是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定01，则N，-1就有可能不是正整数，例如若=2,则此时N=1,故为了符合数列极限的定义，先设定0N,时，Ia-01N】时，对于任意的11n1大于1的，下列式子成立：Ia-0I0.51，亦即对于所有大于1的，我们都能找到与它相对应的N=N1On1因此，在数列极限证明中，可限小。只要对于较小的能找到对应的N,则对于较大的就自然能找到对应的N。
