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1、2023年高中数学必修五海伦公式探究 海伦公式探究 背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。 过程：海伦公式 证明 三斜求积术 推广 运用 余弦定理 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版
2、的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。 证明： 与海伦在他的著作Metrica(度量论)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变 a2+b2-c2形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为：cosC= 2abS=1absinC 21=ab1-cos2C 21(a2+b2-c2)2 =ab1-2224ab141=41=41=4=4a2b2-(a2+b2-c2) (2ab+a2+b2
3、-c2)(2ab-a2-b2+c2) (a+b)2-c2c2-(a-b)2 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+b) a+b+b 2-a+b+ca-b+ca+b-c,p-b=,p-c=, 则p-a=222设p=上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) 16=p(p-a)(p-b)(p-c) 所以， SABC= p(p-a)(p-b)(p-c) 证明：我国著名的数学家九韶在数书九章提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜
4、平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。 定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为： 原文见卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上余，四约之为实，开平方，得积 证明：如 图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2 (u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=(b+c)(b-c) (u-v)
5、=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以22 2 又 h=b-u，三角形面积=ah/2 此即： ， 其中cba. 将根号下的多项式分解因式，便成为可见，三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的 所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式”。 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为ABC外接圆、内切圆的半径，p = 1(a+b+c),则 211SABC =aha=absinC = r p 22abc 4R = 2R2sinAsinBsinC = =p(p-a)(p-b)(p-c) p(p-a)(p-b)(p-c
6、)就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作测地术中有记其中，SABC =载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的变形 S=p(p-a)(p-b)(p-c) (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (a+b)2-c2c2-(a-b)2 (a2+b2-c2+2ab)-(a2+b2-c2-2ab) 4a2b2-(a2+b2-c2) 2 2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4 141 =41 =41 =41 =4 = 证一：根据勾股定理证明。分析：先从三角形最基本的计算公式SABC =导出海伦公式。 1aha入手，运用勾股定理推2 证二：根据斯氏定理证
7、明。 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 代入解得s=83 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 二、海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延
8、长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f 1+2 =180 2+3 =180 1 =3 EABECD a+b+c+d,则S 2四边形 SDEABfbb2e= = a+ef+cdS四边形ABCDd2-b2解得： e =b(ab+cd)b(ad+bc) f = d2-b2d2-b2d2-b2由于S四边形ABCD =SEAB b2b(d2+b2)将，跟b =代入公式变形，得：22d-b 所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题：如图，四边形ABCD内接
9、于圆O中，SABCD =求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 由海伦公式的推广，得： 33,AD = 1,AB = 1, CD = 2.4133(1+1+2-x)(1+1+x-2)(2+x+1-1)(2+x+1-1)= 44 (4x)(2x)2 =27 x412x216x27 = 0 x2(x21)11x(x1)27(x1) = 0 (x1)(x3x211x27) = 0 x = 1或x3x211x27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 四边形可能为等腰梯形。 高中数学必修五海伦公式探究 高中数学公式 高中数学全部公式 高中数学公式直线 高中数学公式口诀 高中数学公式口诀 高中数学放缩法公式 高中数学公式数列 高中数学有效教学探究 高中数学必修2说课稿
