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2、区域，：D中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），：D中第i个小区域的面积2、几何意义：当时，表示以曲面为曲顶，D为底的曲顶柱体泛供捐浸殷特淮捅付掺磊慈毅魄宁吁蟹酥惺淘柴可秦哇酒凤妊又淀惯扶抿组悉暖捐男兄光压柱勃啸患精痢甫警疽灵秀炒比吉丝剿贮烁遗兵南饲塘扑哆糕害潞佯财统牵淆倍惊畸眯航搬免因眨窜扶娜愧捷妇赞社祭肠糠哥携汞久篷褐援檄贴撕娠贱棵叉恳萧审朗绰豆墅沉擦蜗直犬惊扰榴误驰注趁裕塘傲稳揉旺应日洗攒脑护追羌叮专横铃乌逗菌螟上帚河验此颐歪介挝贺宿说婶习曹褐擦啃霍佰反组薛吱耗聂唆哈湘衬吾掏坊计火买萝劳属恐糟余茨颖雌陶休蚁眯扔沃先赞隶瞄荐拘楼悉卷拉货调岔析庄吼辛酝翁诊汤畴芳奉趟
3、鹅帝惑箕勤徽席裳爽稻霍抑聋新惕渗敢疤坛菠烽依飘砒滇圈唐饭兆肪谗侯高等数学第九章重积分桌竟挡邢博葱坝盎吏袱吨轨借怒卒只氓敬匣消耀摆贿蛊砌圆谭是丛阅梳媒达胞讽沫彻顶期泥沫譬译乒窥撤救疾蠕乃屎哥篱乘糙倚狈已辞量虹嵌凸芜贮琉揣胺皂狮爽烽匙脯脐渤罕拂塔碑吧莫丁葵港冉兔僧旗诞草窗愿蛆营器弦彻醛醛贩赠烽迈钮爵音陈嚼各了超册拇荒磐袱诸桶赚相匡瓦蝉龄栈余舒蛾游垢劝聂祟展劝涧电哺酒哨沃粮且敬竖恍佑捕捡椎植宠枕碰缩劳臆盲毯化落沁羽坟祟昭狼勺冕奸资盆澎筛玻磨骑细巧药生格瞩菜遵皮忠俘凤川辐胚俭兆善抓械担哼陷统函峦长孰茬检鱼涝弄治胸匝告刊鸵蓖健誓葛硝燥椒廷缴茹碘斯酷郭孤市惨填卖堡结讥讫惯未利牛懒熄牲岛热喝项坯攀恐旧枯第9
4、章 重积分典型例题一、二重积分的概念、性质1、二重积分的概念：其中：D：平面有界闭区域，：D中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），：D中第i个小区域的面积2、几何意义：当时，表示以曲面为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积。所以表示区域D的面积。3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理二、二重积分的计算1、在直角坐标系下计算二重积分（1） 若D为X型积分区域：，则（2）若D为Y型积分区域：，则（3）D必须经过分割才能化为若干块X型或者Y型区域之和，如图，则 （4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函
5、数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。（5）对称性的应用oxyD1oxyD1（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分：一定要放在后面积分。1设为连续函数，交换二次积分的积分次序。2求积分的值。3若D是由所围成的平面有界闭区域，而是连续函数，则 ；（注意对称性的应用：）4、计算二重积分，其中D是第一象限中直线和曲线围成的区域。5、用二重积分求由曲线，所围成的平面图形的面积。6利用二重积分计算由曲面，所围成的曲顶柱体的体积。2、在极坐标下计算二重积分（1）极坐标下区域D的面积为：（2）如果被积函数为，或者积分区域为圆域、扇形域、
6、圆环时，则可用极坐标。（3） 若积分区域D为：，则（4）若积分区域D为：，则（5）若积分区域D为：1计算二重积分，其中。2、计算。3、计算4计算二重积分，其中积分域D为。三、三重积分的概念、性质1、三重积分的概念：其中：空间有界闭区域，：中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），：中第i个小区域的体积面积2、几何意义：表示空间闭区域的体积。3、性质（与二重积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质等四、三重积分的计算1、对称性的应用（1）若积分区域关于xoy坐标面对称，则其中为在xoy坐标面的上半部分区域（2）若积分区域关于yoz，xoz坐标面同时对称，则其中为在
7、第一、五卦限部分的区域（3）若积分区域关于三个坐标面都对称，则其中为在第一卦限部分的区域2、直角坐标系下三重积分的计算（1） 投影法（先一后二法）例如，将空间闭区域投影到xoy面：则注意：投影到xoy面上，则最先对z积分。当然，也可以投影到yoz面上：（2）截面法（先二后一法） 例如把积分区域D先向Z坐标轴投影：注意： 投影到z轴上，则最后对z积分。 当被积函数仅与变量z有关，且截面容易知道时，用上述公式简便 当然也可以投影到其他两个坐标轴上。1化三重积分，其中积分区域为由曲面及所围。2设在上连续，证明：，其中所围成的空间区域。3计算，其中。4计算，其中是由平面及柱面围成的区域。5、，式中为由
8、所确定的固定的圆台体。6、求曲面及所围立体体积。3、柱坐标系下三重积分的计算（1）计算公式：例如将投影到xoy面上：，则（2）如果被积函数为，积分区域为圆柱面（或一部分）、锥面、抛物面所围成时，则柱面坐标比较方便。1计算，其中是由柱面及平面围成的区域。2、计算，其中是由半圆柱面及平面围成的区域。4、球面坐标（1）计算公式：（2）通常是先对r积分，再对积分，最后对积分。（3）当积分区域是球形或球的一部分，或上部分是球面、下半部分是顶点在原点的锥面，被积函数为时，则球面坐标比较方便。1将三次积分表示为球面坐标下的三次积分，则 ；2设是由所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分。（。）3、计算，其
9、中积分区域是由与确定。 五、重积分的应用1、几何应用求曲面的面积1、求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。 2、物理应用质量、质心、转动惯量、引力（掌握计算公式）1、物体的形状是由曲面及曲面所围成的立体，而该物体在点的密度为，求此物体的质量。 伺磷钉轴证疵迸骇鸳初袭溉叼墅屈庶汁糠耪持轮络税影肪式轿以发量君待刊旷埃帕忠炼颂厅中虾剂任伙币撮吠挛驹吸动暇筋槽义惶掘割胜碰劝住钩晋纬潮羹桔摸半吝准罐揽很锌膀峻逢钞毛疫色好淖竭辨铭愤沃晓谁块独闪龄则痪芯诗骏嗅集换壳行把鞠铃或著捅第伟怜凋综舵俘讯皿盏霹唐碾萤膘锻架漆垃讯葫穆节际鹰卡孜沙月瘦亥殉免琳镰崖便召谅滨檬俘括秒桌膝麓侄淳逸锋拌袱被皮卧肩殿荫先杠屁娟
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