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1、2.1.1 合情推理(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.下列说法正确的是()A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得出的结论无法判定正误【解析】合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B正确；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错.【答案】B2.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”B.“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C.“(
2、ab)cacbc”类比推出“(c0)”D.“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”【解析】由实数运算的知识易得C项正确.【答案】C3.用火柴棒摆“金鱼”，如图217所示，图217按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为() 【导学号：37820011】A.6n2B.8n2C.6n2D.8n2【解析】从可以看出，从第个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.【答案】C4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A.一
3、条中线上的点，但不是中心B.一条垂线上的点，但不是垂心C.一条角平分线上的点，但不是内心D.中心【解析】由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心.【答案】D5.(2016南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第57个数对是()A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，
4、(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】A二、填空题6.把正数排列成如图218甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图218乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列an，若an2 017，则n_.12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16甲12 45 7 910 12 14 16
5、乙图218【解析】图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有个数，由44441 936，45452 025知an2 017出现在第45行，第45行第一个数为1 937，第141个数为2 017，所以n411 031.【答案】1 0317.二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)Vr3，观察发现VS.已知四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W_.【解析】因为V8r3，所以W2r4，满足WV.【答案】2r48.已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差
6、数列，a52，则an的类似结论为_.【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，则有a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a929三、解答题9.已知数列，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的公式.【解】S1，S2，S3，S4，由此归纳猜想Sn.10.在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点
7、到四个面的距离之和是定值a.证明：设M是正四面体PABC内任一点，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VPABCVMABCVMPABVMPACVMPBCSABC(d1d2d3d4)，而SABCa2，VPABCa3，故d1d2d3d4a(定值).能力提升1.根据给出的数塔，猜测123 45697等于()【导学号：37820012】19211；1293111；123941 111；1 2349511 111；12 34596111 111；A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1
8、111 113【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456971 111 111，故选B.【答案】B2.已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则()A.1B.2C.3D.4【解析】如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.【答案】C3.如图219所示，椭圆中心在坐标原点
9、，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_.图219【解析】如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则F(c，0)，B(0，b)，A(a，0)，所以(c，b)，(a，b).又因为，所以b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e(舍去).【答案】4.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.1
