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1、专题训练(六)利用旋转证明或计算一、利用旋转进行计算1如图，在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长解：易证APOCOD，APOC，又AC9，AO3，APOC6 2如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.(1)求证：BHGH；(2)求BH的长解：(1)连接AH，依题意，得正方形ABCD与正方形AEFG全等，ABAG，BG90，可证RtABHRtAGH，BHGH(2)130，ABHAGH，2330，设BHx，AH2x，在R
2、tABH中，BH2AB2AH2，即x262(2x)2，x2，BH2 3把一副三角板如图放置，其中ACBDEC90，A45，D30，斜边AB6，DC7.把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15得到D1CE1(如图)，求线段AD1的长度解：易求OFE1120，D1FO60，CD1F30，COB90.BCE115，BCD145，又ACB90，ACOBCO45.又ACBC，AB6，OAOB3，ACB90，CO3，又CD17，OD1CD1OC734，在RtAD1O中，AD15 4在ABC中，ABAC，BAC(060)，将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD.(1)如图，直接写出ABD的大小；(用含的式子
3、表示)(2)如图，BCE150，ABE60，判断ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若DEC45，求的值解：(1)ABD30(2)ABE是等边三角形证明：连接AD，CD，DBC60，BDBC，BDC是等边三角形，BDC60，BDDC，又ABAC，ADAD，ABDACD，ADBADC，ADB150，ABEDBC60，ABDEBC，又BDBC，ADBECB150，ABDEBC，ABEB，ABE是等边三角形(3)BDC是等边三角形，BCD60，DCEBCEBCD90，又DEC45，CECDBC.EBC15.EBCABD30，30 二、利用旋转进行证明5某校九年级学习小组在学习探
4、究过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图所示位置放置现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角(090)，如图，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AMAN；(2)当旋转角30时，四边形ABPF会是什么样的特殊四边形？并说明理由解：(1)由旋转可知，ABAF，BAMFAN，BF60，ABMAFN(ASA)，AMAN(2)当旋转角30时，四边形ABPF是菱形理由：连接AP，30，FAN30，FAB120，B60，AFBP，FFPC60，FPCB60，ABFP，四边形ABPF是平行四边形，ABAF，平行四边形ABPF是菱形 6(1)如图，
5、在ABC中，BABC，D，E是AC边上的两点，且满足DBEABC(0CBEABC)以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC，得到BEA(点C与点A重合，点E到点E处)，连接DE.求证：DEDE.(2)如图，在ABC中，BABC，ABC90，D，E是AC边上的两点，且满足DBEABC(0CBE45)求证：DE2AD2EC2.解：(1)BEA是由BEC以点B为旋转中心，按逆时针方向旋转而得到，BEBE，CBEABE，EBEABC.DBEABC，DBEDBE，又BDBD，BEBE，DBEDBE，DEDE(2)将CBE以点B为中心按逆时针方向旋转90，得到ABF，则AFCE，FABC.BABC
6、，ABC90，BACC45.FAD90.DF2AD2AF2AD2CE2.由(1)知DFDE，故DE2AD2EC2 7如图，点A是线段BC上一点，ABD和ACE都是等边三角形(1)连接BE，CD，求证：BECD；(2)如图，将ABD绕点A顺时针旋转得到ABD.当旋转角为_60_度时，边AD落在边AE上；在的条件下，延长DD交CE于点P，连接BD，CD，当线段AB，AC满足什么数量关系时，BDD与CPD全等？并给予证明解：(1)ACE，ABD都是等边三角形，ABAD，AEAC，BADCAE60，BADDAECAEDAE，即BAEDAC，BAEDAC，BECD(2)当AC2AB时，BDD与CPD全等，证明：由旋转可知AB与AD重合，ABBDDDAD，四边形ABDD是菱形，ABDDBDABD30，DPBC.ACE是等边三角形，ACAE，ACE60.AC2AB，AE2AD，PCDACDACE30，DPBC，ABDDBDBDDACDPCDPDC30，BDCD，BDDCPD
