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1、第2讲四种命题的关系及其充要条件考纲展示命题探究1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题间的相互关系图3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系注意点否命题与命题的否定的区别如果原命题是“若p则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”即只否定结论.1思维辨析(1)“x22x3|b|，则a2b2；32.其中是真命题的个数是()A1B2C3D4答案C解析是假命题，因为aA/ a(AB)；是真命题，
2、因为ABBAB；是真命题，因为a|b|0，所以a2b2成立；是真命题，因为“32”的意思是32或32，只要有一个成立就行，故选C.3命题“若，则tan1”的逆否命题是()A若，则tan1B若，则tan1C若tan1，则D若tan1，则答案C解析命题“若，则tan1”的逆否命题是“若tan1，则”，故选C.考法综述四种命题关系及其真假判断是高考的热点之一，一是对“若p，则q”形式命题的改写要熟练掌握，二是弄清命题的四种形式之间的真假关系，属容易题命题法四种命题及其关系典例(1)下列四个命题中：“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多边形相似”的逆命题；“若m0，则x2xm0有实根”的逆
3、否命题；“若x32，则x是无理数”的逆否命题其中是真命题的是()ABCD(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假解析(1)原命题的否命题为“若x2y20，则x，y全为零”，显然是真命题；原命题的逆命题为“若多边形相似，则这些多边形为正多边形”，显然是假命题；原命题的逆否命题为“若x2xm0没有实根，则m0”，由条件可得m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D
4、若方程x2xm0没有实根，则m0答案D解析由原命题和逆否命题的关系可知D正确2已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂
5、直于同一个平面，故D正确3已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线xy10与圆x2y2相切其中真命题的序号是()ABCD答案C解析对于命题，设原球的半径和体积分别为r，V，变化后的球的半径和体积分别为r，V，则rr，由球的体积公式可知Vr33r3V，所以命题为真命题；命题显然为假命题，如两组数据：1,2,3和2,2,2，它们的平均数都是2，但前者的标准差为，而后者的标准差为0；对于命题，易知圆心到直线的距离dr，所以直线与圆相切，命题为真命题故选C.4下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数
6、列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为()Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4答案D解析对于p1，数列an的公差d0，数列是递增数列；对于p4，an13(n1)d(an3nd)4d0，是递增数列；对于p2，(n1)an1nan(n1)an(n1)dnana12nd，不能确定a1的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列故选D.5.下列命题中，真命题是()A命题“若ab，则ac2bc2”B命题“若ab，则|a|b|”的逆命题C命题“当x2时，x25x60”的否命题D命题“终边相同的角
7、的同名三角函数值相等”的逆否命题答案D解析命题“若ab，则ac2bc2”是假命题，如ab且c0时，ac2bc2；命题“若ab，则|a|b|”的逆命题为“若|a|b|，则ab”是假命题；命题“当x2时，x25x60”的否命题为“若x2，则x25x60”，是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题充分与必要条件的判断若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp注意点在判断充分必要条件时注意小范围与大范围的关系(1)确定条件是什么
8、，结论是什么(2)由条件尝试推导结论，由结论尝试推导条件(3)“以小推大”即小范围推得大范围.1思维辨析(1)“a2”是“(a1)(a2)0”的必要不充分条件()(2)设a，bR，则“ab4”是“a2且b2”的充分条件()(3)若(0,2)则“sin1”的充要条件是“”()(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同()(5)x1是x2的必要不充分条件()(6)若p是q的充分条件，则q是p的必要条件()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2设xR，则x2的一个必要不充分条件是()Ax1Bx3Dx2x1，但x1x2.3“x0”是“ln (x1)0”的()A充分不
9、必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析ln (x1)00x111x0x0；而x01x0.故选B.考法综述充分条件、必要条件是每年高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性综合命题. 命题法判断充分条件与必要条件典例(1)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为” 的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件(2)
10、设U为全集A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件解析(1)当k1时，l：yx1，由题意不妨令A(1,0)，B(0，1)，则SAOB11，所以充分性成立；当k1时，l：yx1，也有SAOB，所以必要性不成立(2)由韦恩图可知充分性成立反之，AB，可以取CUB，此时AC必要性成立故选C.答案(1)A(2)C【解题法】充分、必要条件的判断方法(1)利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假(2)从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定(3)利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常
11、转化为其逆否命题来判断真假1设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析结合韦恩图可知，ABA，得AB，反之，若AB，即集合A为集合B的子集，故ABA，故“ABA”是“AB”的充要条件，选C.2“sincos”是“cos20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析sincostan1k，kZ，又cos2022k或2k(kZ)k或k(kZ)，sincos成立能保证cos20成立，但cos20成立不一定能保证sincos成立，“sincos”是“cos20”的充分不必要条件3设a1，a2，anR，n3.若p：a1，a2，an成等比数列；q：(aaa)(aaa)(a1a2a2a3an1an)2，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分
