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1、分类讨论实现问题转化的重要思想方法解题的实质是转化，即将复杂的问题转化为简单的问题、将不熟悉的问题转化为熟悉的问题在解决数学问题的过程中，有一些问题很难整体性的转化为另一个熟悉的问题，而更容易等价的转化为几个比较熟悉的问题这种“化整为零，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论掌握分类讨论这一数学思想方法的关键是确定分类标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论，而做到这些并不容易以下，我们从分析掌握分类讨论所必备的条件着手，并通过几个典型例题的解析，揭示在解题过程中应该在什么情况下分类讨论、以及应该如何分类等解题策略，请同学们认真感受分类讨论思想在解题中的运用 一、明确概念的内涵是做好分类讨论的前
2、提概念是思维的细胞，所有数学概念都有其明确的内涵，在解决问题过程中，凡是涉及到相关的概念问题，当不能直接解答时，一般都应以所定义的概念来进行分类讨论，讨论时要注意概念所受的限制条件例1、设为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于的取值，可对分以下三种情形讨论：（1）当时，方程变为，表示直线；（2）当时，方程变为，表示直线；（3）当时，方程变为，又有以下五种情形讨论：当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线；当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆心在圆点的圆；当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的
3、双曲线解题点评：解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的内涵对参数进行分类例2、已知函数和的图象关于原点对称，且 （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若h(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围解析：（1）解答略.（2）由可得：，此时解此不等式就需要根据绝对值的意义来分类讨论去掉绝对值符号，使问题转化为解两个不带绝对值的不等式问题当1时，此时不等式无解；当时，因此，原不等式的解集为-1,.（3） 因为二次项系数带有参数，故需对的取值进行讨论，使问题转化为明确的一次或二次函数问题 当时，在-1,1上是增函数，当时，二次函数对称轴的方程为(i) 当时，解得；
4、(ii)当时，1时，解得综上：解题点评：解绝对值不等式最常用的方法就是利用“零点分区间法”划分分类讨论的层次，去掉绝对值，把它转化为不含绝对值的不等式对于含有参数的函数或方程表达式，解题中经常需要明确表达式代表何种函数或方程，此时，常常需要对参数进行分类讨论二、掌握公式或命题成立的条件是做好分类讨论的必要条件许多数学公式或命题都是在一定的条件下成立的，如等比数列的前n项和公式、极限的计算；还有不等式的基本性质、二次函数、指数函数与对数函数的性质等，这些性质成立的条件是进行分类讨论的依据例3、解关于的不等式解析：解这类根式方程常常需要实施不等式的基本性质：若，则将不等式中的根号去掉考虑到该不等式
5、性质成立的条件，首先必须分类讨论的符号（1）当时，又 ，从而 对原不等式两边平方得，所以 综上，有（2） 当时，.综上有.又根据对数函数的单调性对进行分类讨论： 若时，不等式的解集为.若时，不等式的解集为.解题点评：利用运算性质和函数的图像性质进行分类是中学数学学习阶段最常见的分类方法例4、设首项为，公比为的等比数列的前项和为，又设，求解析：首先应根据等比数列前项和公式对讨论，然后再根据极限的定义再对进行讨论设所求等比数列为，公比为（1）当时，有，（2）当时，有，若，则，若，则综上可知：当时，；当时，解题点评：许多公式，如等比数列的前n项和公式、极限的计算公式等都有适用条件，这正是分类讨论的依
6、据三、逻辑思维能力是做好分类讨论的保障由于分类讨论一方面需要对研究对象进行不重复、不遗漏的分类，另一方面还要对每一类别进行系统讨论在这个过程中，逻辑思维能力是实现讨论中严谨推理的保障在一些比较复杂的问题或实际问题中，我们可以充分地感受到这一点 例5、某车间有名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外3人车工钳工都会，现需选出6人完成一项工作，需车工、钳工各3人，问有多少种选派方案？解析：本题解法较多，可按“仅会车工”、“仅会钳工”、“车工钳工都会”等情况分类来解.本题按“选出的钳工中所含全能工人的个数”来分类选出的钳工中没有全能工人的选法有种；选出的钳工中有1名全能工人的选法有种；选出的钳工
7、中有2名全能工人的选法有种；选出的钳工中有3名全能工人的选法有种总共有种选派方案解题点评：在遇到实际问题时，常应按实际问题的不同要求，选择恰当的解决方法，按要求分成若干类加以解决，如排列组合问题、概率问题、应用问题中常遇到的分类计数、分步计数问题例6、已知数列满足：（m为正整数），若，求 m的值解析：（1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得所以，的值是4、5、32解题点评：本题是按奇、偶分类对于有关正整数的问题，如数列问题，经常按某一个整数的同余分类例7、已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前n项和 （1）用表示；（2
8、）是否存在自然数c和k，使得成立 解析（1）由4(1），得，(nN*)（2）要使，只要因为，所以，(kN*)，故只要，（kN*）因为，(kN*) 所以 又，故要使成立，c只能取2或3 当时，因为=2，所以当时，不成立，从而不成立 当时，因为，由 (kN*)得2故当时，从而不成立 当时，因为，所以当，时，不成立，从而不成立因为，又，所以当时，c，从而成立 综上所述，不存在自然数c，k，使成立 解题点评：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在解决第2问时，先分析问题使问题得以转化，再运用分类讨论的思想方法，对双参数，c轮流分类讨论，对解题者的逻辑思维能力要求较高 综上所述，分类讨论就是“化整
9、为零，各个击破”的解题策略，是实现问题转化的重要思想方法要掌握分类讨论的思想方法，首先必须做到概念清晰，并明确掌握公式与命题成立的条件，同时应具备一定的逻辑思维能力只有这样，在解题过程中，才能把握好该何时、何地进行不遗漏，不重复的分类，才能做到严谨地分析与讨论问题同时，分类讨论也是培养逻辑思维能力的重要素材分类讨论专题训练（孟小龙供稿）一、填空题1若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为 2已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为 二、选择题3 已知其中 R，则a的取值范围是 ( )A B 或 C D 或4用0到9这10个数字，可以组成没有
10、重复数字的三位偶数的个数为（ ） A324 B328 C360 D648三、解答题5在直角三角形中，求实数的值6在等差数列中，前项和满足条件.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.7已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数 求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 8 已知集合，A, B同时满足 AB，AB= 求p、q的值 分类讨论专题训练参考答案1提示：分与两类讨论 答案：或；2 提示 分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决 答案：1或23C提示 分a=2、a2和a2三种情况分别讨论 4B解析：先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时
11、，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.5解：由于直角顶点不确定，所以应对直角顶点加以讨论由得：当时，得；当时，得；当时，得6解：（1）（解答略） .（2）由，得.所以，此时需要根据P的取值进行分类当时，；当时，即7解 如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P=M ONMN, ON=1，设动点M的坐标为，则即经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程 （1）当时，方程为，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直线；（2）当时，方程化为 ，它是以为圆心，为半径的圆 8解 设，是的根 若，则，从而, B= 此时AB=与已知矛盾，故 将方程两边除以，得 即满足B中的方程，故B A=,则A,且 设A=, ，则B=，且（否则AB=） 若，则B, 与B矛盾 又由AB, ，即 即A=,1或A=, 故方程有两个不相等的实数根，1或，
