偏微分方程求解方法及其比较

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1、偏微分方程求解方法及其比较 期刊门户-中国期刊网2008-12-11来源:科海故事博览 科教创新2008年第10期供稿文/曹海洋 吕淑娟 王淑芬导读近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：

2、谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多

3、项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看谱方法可分为Fourier方法Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1, 3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1,

4、 xN =1, 4)Legendre-Gauss: xj 是 的零点且 5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是 的N+1个零点且 6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是 的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为： 其中： Jacobi正交多项式满足正交性： 而Chebyshev多项式是令 时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令 时Jacobi多项式的特殊形式。2 几种典型的谱方法谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。

5、从函数近似角度看谱方法可分为Fourier方法Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其

6、他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法：1） 以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程以一阶波动方程为例： 其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。 故可设 其中 为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中 的共轭 有：其中 从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还

7、有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程PetrovGalerkin谱方法。3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法

8、被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。 5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非周期性傅立叶插值的有限谱法和基于截断傅立叶积分的有限谱法。3 谱方法的几个相关问题 1）谱微分快速逼近函数的微分逼近形式是偏分方程数值解中的一个重要问题, 它某种意义上决定了采用方法的实质。例如常见的差分方法

9、是采用少数几个离散值组合来逼近函数在某点的微分值。离散点与微分估值点的位置是决定差分格式的重要依据。对谱方法, 其情形与差分离散有所不同, 对变量的谱方法微分逼近实质上是决定对应导函数展开序列的系数。一般正交函数均存在3项递推公式，它可以在谱微分逼近中加以利用。但利用3项递推容易出现舍入误差过度积累, 导致计算不稳定, 在涉及坐标变换时该问题显得更为严重。另一种计算谱微分的方法基于拉格朗日核函数 , 该方法主要针对拟谱方法。其关键是如何在一个简单的微分矩阵(三对角或者五对角等稀疏情形) 基础上控制计算误差。微分逼近在基于样条函数的PDE 配置方法以及观测数据导函数逼近中经常出现。2）快速多极方

10、法快速多极方法(FMM ) 是目前较新的一种快速方法, 起源于多体问题模拟, 目前已被较广泛应用到工程计算加速中。基于拉格朗日核函数的序列估值及微分估值都可以使用FMM , FMM 还可用于球谐谱计算中对勒让德变换的加速。FFT 只适用于离散点等距的情况, 而在谱方法计算中大多数情况的离散点是不等距的, 特别是在复杂几何解域谱计算问题中, 此时FMM 可以作为FFT 的替代。FMM 的计算复杂度和FFT 在量级上相同, 但增加了一个很大的比例系数。4 结论谱方法的计算量大大超过了有限差分和有限 元方法, 由于计算机速度的限制, 谱方法的研究与应用曾一度处于低谷。近年来, 在计算机技术、区域分解

11、技术和应用需求的共同推动下, 关于谱方法的研究和应用逐渐升温。 目前, 谱方法计算的大量研究和应用集中在谱元素方法、多域拟谱方法及其预条件和并行计算。由于基于区域分解的谱方法在并行计算中具有很小的通信计算比, 特别适合于粗粒度分布式并行计算。随着谱方法计算研究的深入基于区域分解的谱方法在科学计算中的地位将显得愈来愈重要。参考文献1向新民.谱方法的数值分析.北京，科学出版社，20002Wang J P.Non-periodic fourier transform and limite spectral method. 3任宗修. SRLW方程的Chebyshev拟谱方法. 工程数学学报，1995

12、，12(2)：34-404余德浩.汤华中. 微分方程数值解法. 科学出版社5张理论.李晓梅. 谱方法数值计算研究进展. 指挥技术学院学报, 2001偏微分方程百科名片 图例如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。目录偏微分方程简介 偏微分方程的起源 偏微分方程的内容 偏微分方程目录 1. 第1章 一阶标量拟线性方程 2. 第2章 一阶拟线性方程组 3. 第3章 二阶标量方程引论 4. 第4章 双曲型方程

13、 5. 第5章 椭圆型方程 6. 第6章 抛物型方程 7. 第7章 自由边值问题 8. 第8章 非拟线性方程 9. 第9章 杂记新版图书信息 内容简介 图书目录偏微分方程简介 偏微分方程的起源 偏微分方程的内容 偏微分方程目录 1. 第1章 一阶标量拟线性方程 2. 第2章 一阶拟线性方程组 3. 第3章 二阶标量方程引论 4. 第4章 双曲型方程 5. 第5章 椭圆型方程 6. 第6章 抛物型方程 7. 第7章 自由边值问题 8. 第8章 非拟线性方程 9. 第9章 杂记新版图书信息 内容简介 图书目录展开编辑本段偏微分方程简介在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的

14、函数来描述已 偏微分方程经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。 应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究

15、某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。 编辑本段偏微分方程的起源微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二 偏微分方程阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作论动力学中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了热的解析理论，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方