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1、3.3幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数概念、图象2,6,7,9幂函数性质及其应用3,4,6,10幂函数解析式1,5,8,10,111.(2018北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内(C)(A)为增函数 (B)为减函数(C)有最小值 (D)有最大值解析:设幂函数f(x)=x,由f(-2)=4,得(-2)=4=(-2)2,所以=2,即f(x)=x2,则在定义域内有最小值0,故选C.2.(2018重庆綦江联考)函数y=()-3的图象是(C)解析:函数y=()-3可化为y=x3,当x=时,求得y=1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.3.下列函数中,其
2、定义域和值域不同的函数是(D)(A)y= (B)y=(C)y= (D)y=解析:y=,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y=定义域与值域都为(0,+),D中y=定义域为R,而值域为 0,+).4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)f(10-2a),则a的取值范围是(A)(A)-1,3) (B)(-,5) (C)(3,5) (D)(3,+)解析:由幂函数f(x)=的性质,有0a+110-2a,所以-1a0,解得m4或m2,因此只有m=1满足条件,故选D.6.已知幂函数y=(mN+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则m=.解析:因为幂函数图象与坐标轴不相交,所以m2-2m-30
3、,所以-1m3,又mN+,所以m=1,2,3.又因为函数为偶函数,所以m=1或m=3.答案:1或37.在同一坐标系内,函数y=xa(a0)和y=ax-的图象可能是(C)解析:当a0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只有选项A,C适合,此时函数y=xa在(0,+)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.8.(2018福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)(B)(A)是偶函数 (B)是奇函数(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值解析:幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴
4、无交点,可得m2-m-1=1,且m0,解得m=-1.则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.故选B.9.幂函数y=(m2-m-1),当x(0,+)时为减函数,则实数m的值为.解析:由m2-m-1=1得m=2或m=-1,又x(0,+)时为减函数,则需m2-2m-30,所以m=-1舍去.答案:210.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,).(1)求y=f(x)的解析式;(2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明.解:(1)设f(x)=x,将(2,)代入得,=2,所以=.所以f(x)=.(2)f(x)=在定义域0,+)上为增函数.证明如下:任取x1,
5、x20,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=,因为x1-x20,所以f(x1)f(x2),即幂函数f(x)=在0,+)上为增函数.11.已知幂函数f(x)=(mZ)是偶函数,且在(0,+)上是减 函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)讨论g(x)=a-的奇偶性.解:(1)因为f(x)=(mZ)是偶函数,所以m2-m-2为偶数.又因为f(x)=(mZ)在(0,+)上是减函数,所以m2-m-20,即-1m2.因为mZ,所以m=0或m=1.当m=0时,m2-m-2=-2为偶数;当m=1时,m2-m-2=-2也为偶数,所以f(x)的解析式为f(x)=x-2.(2)g(x)=a-=-bx,所以g(-x)=+bx.当a0且b0时,g(x)为非奇非偶函数;当a=0且b0时,g(x)为奇函数;当a0且b=0时,g(x)为偶函数;当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数又是偶函数.
