《2016高考数学大一轮复习5.3平面向量的数量积教师用书理苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习5.3平面向量的数量积教师用书理苏教版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.3平面向量的数量积1平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ab0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 ab|a|b|.2平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，aa|a|2，|a|；(4)cos ；(5)|a
2、b| |a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一
3、个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)ABC内有一点O，满足0，且，则ABC一定是等腰三角形()(4)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形()(5)两个向量的夹角的范围是0，()(6)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是0.()1(2014重庆改编)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k .答案3解析因为a(k,3)，b(1,4)，所以2a3b2(k,3)3(1,4)(2k3，6)因为(2a3b)c，所以(2a3b)c(2k3，6)(2,1)2(2k3)60，解得k3.2已知向量a，b的夹角为6
4、0，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角 .答案30解析设向量a与向量a2b的夹角为.|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos 22cos 4cos ，又a(a2b)a22ab44cos 606，4cos 6，cos ，0，180，30.3在等腰ABC中，底边BC4，则 .答案8解析取BC的中点为D，连结AD，因为ABC是等腰三角形，BC是底边，所以ADBC，又BC4，则()0248.4在ABC中，M是BC的中点，AM3，点P在AM上，且满足2，则()的值为 答案4解析由题意得，AP2，PM1，所以()2221cos 1804.题型
5、一平面向量数量积的运算例1(1)(2013湖北改编)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为 ；的最大值为 答案(1)(2)11解析(1)(2,1)，(5,5)，在方向上的投影为.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向
6、上的投影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件(1)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6.则的值为 (2)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是 答案(1)(2)解析(1)由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.(2)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|m
7、in.题型二求向量的模与夹角例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值为 (2)已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b| .(3)(2013山东)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为 答案(1)(2)3(3)解析(1)记向量2ab与a2b的夹角为，又(2ab)242232423cos 13，(a2b)222432423cos 52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即2ab与a2b的夹角的余弦值是.(2)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|
8、2ab|244|b|b|210，|b|3.(3)由知0，即()()(1)A22(1)32940，解得.思维升华(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的(1)(2013天津)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为 (2)(2014江西)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos .答案(1)(2)解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB
9、的中点F，则，又，()()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)|a| 3，|b| 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .题型三数量积的综合应用例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积思维点拨(1)由mn可得ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由mp得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式(1)证明mn，asin Absin B，即ab，
10、其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，Sabsin C4sin .思维升华解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法已知向量m(2sin(x)，1)，n(2cos x，)(0)，函数f(x)mn的两条相邻对称轴间的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x，时，求f(x)的值域解(1)f(x)mn4sin(x)cos x2sin xcos x
11、2cos2xsin 2xcos 2x2sin(2x)因为T，所以1.所以f(x)2sin(2x)由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是k，k(kZ)(2)因为x，所以2x，所以sin(2x)1,1所以f(x)2,2，即f(x)的值域是2,2高考中以向量为背景的创新题典例：(1)对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角(，)，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab .思维点拨先根据定义表示出ab和ba，利用其属于集合|nZ，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos ，然后利用(，)确定cos 的取值范围，结合集合中nZ
12、的限制条件即可确定n的值，从而求出ab的值解析根据新定义，得abcos ，bacos .又因为ab和ba都在集合|nZ中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又(，)，所以0n1n22.所以n1，n2的值均为1.故ab.答案(2)设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是 思维点拨根据定义先写出m，进而求出，确定函数yf(x)的解析式解析设Q(c，d)，由新的运算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，由消去x得dsin(c)，所以yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是.答
