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1、浅谈整体思想在高中数学解题中的应用 武威铁路中学 王士斌 （733009）中学数学中用到的各种数学方法，都体现着一定的数学思想。数学思想是对数学知识与数学方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。正确灵活应用数学思想，不仅能达到化繁为简、化难为易的解题效果，而且可以提高解题的大局观与总体思考能力。而整体思想是高中阶段较为重要的数学思想，在近几年的高考试题中都有明显体现。但在当前数学学习中的机械化、就题论题、新旧知识之间缺乏联系与比较，使学生的知识处于零碎状态，“只见树木，不见森林”的教学，使学生整体思维的发展受到了束缚，又严重影响了数学的学习。现结合教学实践，通过一些具体实例，谈一
2、谈整体思想在高中数学中的应用，以和大家分享数学的和谐美与整体美。1、整体代入，绝处逢生所谓整体代入，就是将若干式子的组合看作一个整体，直接或变形后代入另一个式子，以减少或避免求单个变量而造成的繁琐运算。例1、长方体的全面积为11，十二条棱长之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）A、2 B、 C、5 D、6解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,此时，若是考虑分别求出a、b、c,再求对角线的长就会缺少条件。若是注意用“整体代入”法，就能直接快速地求得对角线的长d。由题设，得 由得abc6，将它们整体代入对角线长公式，得： d=5 应选C. 例2、已知数列an为等比数列，且an 0，a
3、a+2aa+ aa25，那么a+a. 解析：要求a+a的值，通常是要先求出数列的首项a和公比q，而题目的条件只给出了aa+2aa+ aa=25，这是关于a和q的一个不定方程，无法解出确定的a和q，但若把a和q的代数式看成一个整体，此题便可迎刃而解。 解:设等比数列an的公比为q，则由aa+2aa+ aa25，得a（q+q），an 0，a（q+q），a+aaqaqa（q+q）即a+a5. 应填5.2、整体换元，柳暗花明整体换元就是通过研究新元性质来解决问题。运用整体换元，可以把一个庞杂的式子转化为一个条件清晰简单易解的新式子。例3、计算（a+ a+a）（a+ a+a+a）（a+ a+a）（a+
4、a+a+ a）.解析：此题如果按多项式乘法逐一展开，则非常艰难。如果用整体思想，求大同存小异，整体换元，则运算非常简洁。设a+ a+ax,则原式（a+x）（x+ a）x（a+x+ a）x+ ax+ ax+ aa- ax- x- ax aa3、整体变形，水到渠成例4、tan20+tan40+ tan20tan40的值是.解析：由6040+20得tan60 tan（40+20） tan20+tan40（1- tan20tan40）即tan20+tan40+tan20tan40 应填例、已知数列an的通项an =(2n-1)x(x1)，求此数列前n项和Sn 解析：前n项和Sn =x+3x+5x+(2
5、n-1)x。因x、3x、5x、 (2n-1)x既非等差数列又非等比数列，故无公式可直接应用。现将Sn =x+3x+5x+(2n-1)x两边同乘以x，整体变形为 xSnx+3x+5x+ +(2n-3)x+(2n-1)x后，两式相减即可求出Sn（详解略）.4、整体构造，峰回路转整体构造，就是根据已知条件和所求，整体构造相应的式子，通过对两个式子的联合研究来解决问题。有些问题直接去求，无从下手，但通过整体构造后，就能迅速得出答案。例6、求值sin100sin300sin500 sin700 .解：设A=sin100 sin300sin500 sin700 B=cos100 cos300 cos500
6、 cos700则AB= sin200sin600 sin1000 sin1400=cos700cos300cos100cos500=BB0 A=例7、证明：对和为1的正数a,a，a，不等式+证明：设A=+ B=+则A-B=+=(a-a)+(-)+(-)+(-)=0又（a+a）(i,j=1,2,n)即可得A=(A+B)= (+)+(5、整体补形，迎刃而解整体补形，就是将问题中的非规则图形或非特殊图形经过添加辅助线后，转化成一个完整的特殊图形，使问题中的隐含条件显露出来，从而易于问题的解决。例8、球面上四点P、A、B、C，且PA、PB、PC两两垂直，PAPBPCa，求球的半径是多少？解析：以PA、
7、PB、PC为棱补成一个正方体，则这个正方体就是球的内接正方体正方体的对角线是球的直径设球的半径为R，则2RaRa例9、如图(1)，在三棱锥P-ABC中，三组对棱相等，且PA13，PB14，PC15，求其体积解析：若按常规解题思路是求底面积和高，但底面积易求，高不易求由已知条件中的三组对棱相等，可联想到长方体对面不平行的对角线也具有这种性质从而将此三棱锥补成一个长方体，从而使问题简便快捷地得到解决解：可将如图(1)的三棱锥补成图(2)的长方体，设ADa，DBb，DCc，a2b2152，b2c2132，a2c2142，解得a，b，cVP-ABCVAFPG-DBEC-4VA-BCDabc-4abcabc42数学的学习和解题实践告诉我们：不注意整体结构和整体思维的问题求解，不仅解题能力受到限制，数学习题也不易作出完满、简捷的解答，而且在数学学习中，如果忽视对基础知识的概括、综合、挖掘和提炼，没有系统的知识，则学生的理解水平、整体思维的发展必将受到压抑。所以在数学学习中有意识地渗透整体思维，一定会有所收益。通过以上几例，我们可以感受到，用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。一句话，我们在解决某些数学应用题时，若能仔细观察问题的特点和要求，从全局着眼，把握整体，则会收到事半功倍的效果。
