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1、复数知识点总结1复数的概念形如a bi(a,b R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21, a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(1) 纯虚数：对于复数 z a bi，当a 0且b 0时，叫做纯虚数.(2) 两个复数相等：a bi,c di(a、b c、d R)相等的充要条件是 a c且b=d .(3) 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点 为虚轴.uuu复数的模：复数 z a bi可以用复平面内的点 Z(a,b)表示，向量 OZ的模叫做复数z a bi 的模，表示为：|z| |a bi | . a2 b2(5)共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互
2、为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.2、复数的四则运算(1)加减运算：(abi)(cdi)(ac) (bd)i;(2)乘法运算：(abi)(cdi)(acbd) (adbc)i ;(3)除法运算：(abi)(cdi)(ac2bd)2(bc2芽心di 0)；cd2cd2i的幕运算:4ni4ri 1.i4n24n3(4)1,i,i1,ii.(n Z)(5)ZZ |z|2 |z|23、规律方法总结(1) 对于复数z a bi(a,b R)必须强调a, b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b(2) 复数z a bi(a,b R)是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实
3、数问题的主要方法对于一个复数z a bi(a,b R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识(3) 对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分， 但却有相等与不等之分(4) 数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、 关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等1、基本概念计算类例 1 若 Zia 2i, z23 4i,且勺为纯虚数，则实数 a的值为Z2解：因为， 勺 =-_2iz23 4i(a 2i)(3 4i)(3 4i)(3 4i)3a 6i 4ia 8253a
4、8 (6 4a)i25又 3 为纯虚数，所以，3a 8= 0，且6+ 4a 0。Z22、复数方程问题例2.证明：在复数范围内，方程2 |z|2 (1 i)z5 5i2 i(i为虚数单位)无解证明：原方程化简为|z| (1 i)z (1 i)z1 3i,设 z = x + yi(xy R),代入上述方程得x2y2 2xi 2yi23i. X2x2y 3整理得8x212x50第#页160.方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3、综合类1例3 设z是虚数，z 是实数，且1 2z(1) 求|z|的值及z的实部的取值范围；1 z(2) 设M，求证：M为纯虚数；1 z(3) 求 M2的最小值。解：(
5、1)设z = a + bi(a.R,b 0)a bi1a bi(a亍)(bb_b2)i，因为,是实数，b所以,2b 1，即 |z|=1,因为=2a,110,所以 M22X 2- 3= 1,21 2当a+ 1 = ，即a= 0时上式取等号，所以， M2的最小值是1。a 14、创新类 例4对于任意两个复数 z, x1 y1i, z2 x2 y2i(x1, x2, y1, y2 R)定义运算“O”为Z1 O Z2 =X1X2y1 y2，设非零复数1,2在复平面内对应的点分别为R,P2，点O为坐标原点，若 1 O 2 = 0，则在 PQP2中，PQP2的大小为 .b1 b21a1 a2故 OR OP2
6、,也即 POP2900知解法一：(解析法)设 1a1 b1i, 2 a2 b2i(a1,a20),故得点 P1(a1,b1),P?(a2 ,b2)，且 a1a2 b1b2 = 0,即从而有 koP11 koP22 = bi bl1a a2解法二：(用复数的模)同法一的假设，2 2 2 2| OP1 |1 |a1b1IOP2I2 |2I2afb；IRP2I2 I12 |2I(a1a2)(b1b2)i|2=a； b； + a； b； - 2 ( a1a2 db2) = a； + a| b； - 2x 0=a： b12 + a； b； = | OR |2 + | OP2 |2由勾股定理的逆定理知P1OP2 900解法三：(用向量数量积的知识)同法一的假设，知OR (a1,b1),OF2 (a2,b2)，则有cos OR OP2a a 2b20 故 POP290
