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1、微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a= （ax，ay,az） , b = （bx，by ,bz）, 则 a士 b = （ax 土 bx,ay 土 by,az 土 bz）,九 a =（九 a* d ay ,九 az）； 5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：r | = Jx2+y2+z2 .2）两点间的距离公式：AB| = J（x2 - Xi）2 + （y2 -0）2 +仁-z1）2
2、3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 a,%?cosp =cosY = rr1,其中华为向量a与U的夹角X4）方向余弦：cos =7p 22 ：2cos cos cos =5）投影：Prjua=acos中(二)数量积，向量积1、数量积：a b = |a | b cos6-21)a a = a2) a 1 b a b = 0 a b = axbx ayby azbz2、向量积：c = ab大小：la|b%in，方向：a,b,c符合右手规则1) a 父 a = 02)ab a x b = 0a 父 b = axaybxbykazbz运算律：反交换律 b a = - a b（三）曲面及其方程
3、1、曲面方程的概念：S :f (x,y,z)=2、旋转曲面:yoz 面上曲线 C : f (y, z) = 0 ,绕y轴旋转一周：f (y产Jx2 + z2)22绕z轴旋转一周：f ( vx + y , z)3、柱面:f (x, y);0表示母线平行于z轴,f (x, y) = 0准线为*z = 0的柱面4、二次曲面1)椭圆锥面:(不考)2x22)椭球面:旋转椭球面：aa2x2a2x2y b22y22 y b223）单叶双曲面:4） 双叶双曲面:a2x2a2x2ay b22 y b22z2c2z2c22z2c2z2c22xy+- =75)椭圆抛物面：a 2b2z22x _ y_6)双曲抛物面(
4、马鞍面)：a2b222xy，7)椭圆柱面：a2b2122JJ18)双曲柱面：2. 21ab29)抛物柱面：x=ay(四)空间曲线及其方程F (x, y, z) = 01、一般方程：、cG (x, y, z) = 0x = a cos ty 二 a sin tI z = btH (x, y) = 0xoy上的投影1z = 0x = x (t )2、参数方程：j y = y(t),如螺旋线:z = z(t)3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y, z) = 0,消去z ,得到曲线在G(x, y, z) = 0(五)平面及其方程1、点法式方程：A(x - x。)+ B(y - y。)+ C (z
5、 - z。)= 0法向量：n= (AB,C),过点(x, y0,z)2、一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0xy_ _z截距式方程： = 1nzlAzBG),abc3、两平面的夹角：n1 = (A, B1,C1),COSuAA2 + B1B2+C1C2 A2B12C12 A b2c2AA2 B1B2 C1c2 = 0a旦QAB2C24、点P0(X0, y0, Z0)到平面Ax十By十Cz+D = 0的距离: d Axo By0 CZ0 DA2 B2 C2（六）空间直线及其方程1、般式方程:A1xB1yC1zD1A2xB2y C2z D2、对称式（点向式）方程：一mx - x0y
6、 - y z z方向向量：s = (m,n, p),过点(X。，y, z) x u x0 mt3、参数式方程：V = V。 nt4、z = z pt两直线的夹角：5 = (m1,n1, pj , S2 = (m2,n2, p2),cosm1m2 n1n2p1P2、m； n12p； m2 n2p2L2 um1m2n1n2p1P2 = 0L1 /L2 =miP1m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sinAm Bn CpVA2 B2 C2 , m2 n2 p2Am Bn Cp = 0ABCL 二二第二章多元函数微分法及其应用(一)基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点
7、，聚点，开集，闭集，连通集，区域,闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：z= f(x,y),图形：3、极限： 阿 f(x,y)=A(x,y)-(Xo，yo)4、连续：, Jim 、f(x, y)= *0,%)(x,y)(xo，yo)5、偏导数：fx(x0，y0)=则0f(x0x, 丫0卜 f(x0, y0)xfy(x0，y0)= lym0f (%, yy) - f (x, y)6、方向导数:f ff ff-coscosP其中“J为l的方向角。ixy7、梯度：z= f (x, y),则 gradf (x0,y0)= fx(x0,y)i + fy(x0,y)jL, L, . 二 zz .8、全微分
8、：设 z= f (x,y),贝Udz= Cdx；dy、x、y(二)性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:函数连续2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、微分法1)定义：2)复合函数求导：链式法则若 z = f (u,v), u = u(x, y), v = v(x, y),则-zz：uz:v z z:uz:v = + ， ,excuex印vex cy，ucyvicy3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三)应用1、极值1)无条件极值：求函数z= f(x,y)的极值fx 二 0解方程组! f C求出所有驻点，对于每一个驻点(xo,y
9、o),令 fy = 0A=fxx(xo,yo), B= fxy(xo,yo) , C= fyy(xo,y。)，若AC-B2A0, Ao,函数有极小值，若AC-B2o, A o,函数有极大值；若AC - B2 0 k=12、性质：3、计算：1)直角坐标z2(x,y)H f(x,y,z)dv= H dxdyl f(x,y,z)dz 先一后二”,JDzi(x,y),b1”0(x,y,z)dv= 12仃氏 f(x,y,z)dxdy 先二后一”2) 柱面坐标x 二；cos 1；y = p sin , f (x, y,z)d v=f (p cos9 , p sin0 , z)pdpd9 dz z = z3
10、) 球面坐标x = r sin cos y = r sin sinIz = r cos! f (x, y, z)d v! f (r sin cos71 ,r sin sin71, r cos )r2sin drd d（三）应用曲面 S:z= f (x, y),(x,y) D 的面积:A =dxd y第五章 曲线积分与曲面积分 （一）对弧长的曲线积分1、定义：，Lf (x,y)ds=叽 f(ms簿 i=12、性质：1) fLa f(x,y) +( (x, y)ds = ( f (x,y)ds+ P (g(x, y)ds.2) IL f (x,y)ds= IL f (x,y)ds+ IL? f (x,y)ds (L= L1+ L2).3)在 L 上，若 f (x,y)w g(x,y),贝 U IL f(x,y)dswLg(x,y)ds.4)Lds= l ( l为曲线弧L的长度)3、计算：设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x=，I 沙、俨其中中(t)(t)在u,P上具有一阶连续导数，且 y = (t),吸2(t)”，2(t)#0,则Lf(x,y)ds= : f (t)/(t).J 2(t)2(t)dt ,(二)(二)对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数 P(x,y), nQ(x,y)在 L 上有界，
