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1、数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1若复数为纯虚数，则实数的值为( ) （A） （B）0 （C）1 （D）或12设，若，则实数的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）3已知函数则( )（A） （B） （C） （D）4“不等式”是“不等式”成立的 ( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件5已知直线l，m与
2、平面满足，则有( )（A）且 （B）且（C）且 （D）且6等差数列中，则=( )（A）16 （B）12 （C）8 （D）67如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是( )8已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图，下列关于函数的命题： 函数是周期函数；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有4个零点.其中真命题的个数是( )（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9若则 .10.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部
3、分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客所占百分比为_.11.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内处应填 12. 已知向量，设，若，则实数的值是 13.设，则二项式展开式中不含项的系数和是 14以下正确命题的为 命题“存在，”的否定是：“不存在，”；函数的零点在区间内； 在极坐标系中，极点到直线的距离是函数的图象的切线的斜率的最大值是；线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本小题共13分）已知函数（），直线，是图象的任意两条
4、对称轴，且的最小值为（I）求的表达式；（）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.16（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，且（1）求通项公式；（2）求数列的前项和17本小题共14分乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（）求甲以比获胜的概率；（）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；（）求比赛局数的分布列.18（本小题共13分）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCDABCD，DD底面AB
5、CD，DAB=60，AB=2AD，DD=3AD，E、F分别是AB、DE的中点（）求证：DFCE；（）求二面角AEFC的余弦值19（本小题共14分）已知函数.（）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（）在（）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；（）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.20（本小题共13分）已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率() 求椭圆的方程；() 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（
6、共8小题，每小题5分，共40分）1.A【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，选A. 2.A【解析】集合，而，因为，所以，选A.3.A 【解析】f()=1 0； f(1)=.4.C 【解析】不等式的解为或；不等式的解当时，成立，当时，得，所以不等式的解为或，所以不等式”是“不等式”成立的充要条件，选C.5.B 【解析】，又6.D 【解析】设等差数列的首项为，公差为，即，又，解 得，所以，选D.7.C 【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分
7、，此时体积为，不满足条件，若为C，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为，满足条件，所以选C.8.D 【解析】由导数图象可知，当或时，函数单调递增，当或，函数单调递减，当和，函数取得极大值，当时，函数取得极小值,所以函数不是周期函数，不正确；正确；因为在当和，函数取得极大值，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以不正确，所以真命题的个数为1个，选D.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 【解析】.10. 55% 【解析】后两个小组的频率为，所以前3个小组的频率为，又前3个小组的面
8、积比为，所以第三小组的频率为，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为.11. 4 【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，填4.12. 【解析】，因为，所以，解得.13. 161 【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为.14. 【解析】命题的否定为“任意的，”，所以不正确；因为，又，所以函数的零点在区间，所以正确；把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直线的距离，即普通方程为，则极点到直线的距离为，正确；函数的导数为，当且仅当，即时取等号，
9、所以正确；线性回归直线恒过样本中心，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为.三、解答题（共6小题，共80分）15.解：（），由题意知，最小正周期，所以， （）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象. 令，,，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或 或. 16.解：（1）设等差数列的公差为，则由条件得，解得，所以通项公式，则 （2）令，则，所以，当时，当时，.所以，当时，当时，所以 17.（）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 记“甲以比获胜”为事件，则 （
10、）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件. 因为，乙以比获胜的概率为， 乙以比获胜的概率为， 所以 （）解：设比赛的局数为，则的可能取值为 ， ， ， 比赛局数的分布列为：18.（）为等边三角形，设，则，即 底面， 平面， （）取中点，则，又，所以为等边三角形则，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则设平面的法向量为，则，取 平面的法向量为，则，取 所以二面角的余弦值为 19.解：（），直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为,曲线经过点，由得： （）由（）知：，, 由，或.当，即或时，变化如下表+0-0+极大值极小值由表可知： 当即时，变化如下表-0+0-极小值极大值由表可知： 综上可知
11、：当或时，；当时，（）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，即在内有两个不等的实根 由 （1）+（3）得：，由（4）得：，由（3）得：，故 20.解： ()则由题设可知， 又 所以椭圆C的方程是. ()解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得 设点A、B的坐标分别为，则 因为及所以 当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， 所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. 解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 由解得.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分设点A、B的坐标为，则 因为， 所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.
