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1、二项分布与超几何分布的区别与联系1.定义：(1) 超几何分布：设有总数为 N 件的两类物品，其中一类有 M 件，从所有物品中任取n件(nWN)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概Cm Cn-m率为P(X = m) = m n m (OWmWl, l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量XCnN的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N, M, n的超几何分布.(2) 二项分布：若将事件A发生的次数设为X,发生的概率为p,不发生的概率q=1P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X = k) = Cnpk(1 -p)n - k(k
2、= 0,1,2 ,，n)，于是得到X的分布列X01 k nPCoopoqnCipiqn1 Ckppkqnk CnpnqO由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q +p)n = Cnp0qn + Cjp1qn1HCpkqn_kCqo 各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n, p的二项分布，记做XB(n, p).2.本质区别：(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；(2) 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质 上是相互独立事件的概率问题.温馨提示：(1) 超几何分
3、布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总 体容量，但需要知道“成功率”(2) 当题目中出现用样本数据估计xxx的总体数据”是均为二项分布；(3) 二项分布与超几何分布两者之间存在着联系：当调查研究的样本容量非常大时，在 有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何 分布认为是二项分布.概率论中的二项分布与超几何分布都是古典概型。【典例】某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：(1)当n二500,5000,50000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次 品的概率是多少？( 2)根据( 1)你对超几何分布与
4、二项分布的关系有何认识？【解】(1 )在放回的方式抽取中，每次抽取时都从这n件产品中抽取，从而抽到品的 概率都为0.02.可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数X B(3,0.02) ,恰好抽到 1 件次品的概率为P(X = 1) = C1X 0.02 X (1 0.02)2 =3x 0.02 x 0.982 沁 0.0576243在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X是随机变量，X服从超几何分布，X的分 布与产品的总数n有关，所以需要分3种情况计算：n = 500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500x 2% = 10 ,合格品的件 数为490件。从500件产品中抽出
5、3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P （X 二 1）二C1 x C2490 x 48910 x2!500 x 499 x 49830 x 490 x 489500 x 499 x 498沁 0-057853 ；5003！n = 5000时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为5000x 2% = 100 ,合格品 的件数为4900件。从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为；100 4900 x 4899沁 0-057747 -1） _ C1 x C= 100 x 2!= 300 x 4900 x 4899（二）二 10C3 4900 一 5000 x 4999 x 499
6、8 一 5000 x 4999 x 499850003！3！n = 50000时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为50000x 2% = 1000 ,合 格品的件数为49000件。从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率 为；1000 49000 x 48999P（X 二 1）二沁 0-057626x C2_ = 1000 x 2!= 300 x 49000 x 48999100C3 4900 50000 x 49990 x 4999 50000 x 49990 x 49998500003!3!2)根据( 1)的计算结果可以看出，当产品的总数很大时，超几何分布近似为二
7、项分布。这是可以理解的，当产品的总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后， 次品率近乎不变，这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出产品中的 次品件数近似服从二项分布。【说明】（l）n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布。 当这n次试验是独立重复实验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题， 事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布。（2）在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中 的球的数目N很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的 精度也增加。从以上分析可以看出两者之间的联系：
8、当调查研究的样本容量非常大时，在有放 回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布 认为是二项分布.【实战演练】1. 据统计，截至2016 年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这 个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100 位同学进 行了抽样调查，结果如下：微信群数量个频数频率040.1558400.49122513 16aC16以上5b合计1001（1 ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；（2）若从这100位同学中随机抽取2 人，求这2 人中恰有1 人微信群个数超过12 的概率；（3）以（1 ）中的频
9、率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的 是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E X .解：（1） 在0至 4这一段，对应的频数为15，由已知得：15 + 40 + 25 + a + 5 = 100，解得 a = 15,所以 b =丄=0.05, c =止=0.15,100 100样本中微信群个数超过12的概率p = = 1.1005（2）记2人中恰有1人微信群个数超过12”为事件4,则 p a = C2oC8o =亚，C210099所以2人中恰有1人微信群个数超过12的概率为空.99(3) 由题意知微信群个数超过12的概率为P=1,5X的所有可能取值为0, 1,
10、 2, 3,32则 P(X = 0) = C (1-1) =-64，P(X = 1) = C1 (1)(1-1)=盈，3 5 125 3 5 5 12523P(x = 2) = C3 (!) (1丄)=业，p(X = 3) = C3 (1)=丄，3 5 5 125 3 5 125所以X的分布列为：X012P644812125125125125E(X) = 0皿+仆皿+ 2X 皿+ 3X 丄=3.125 125 125 125 52. (2018年全国卷I )某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付 用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱 产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件 产品为不合格品的概率都为p(0 p 0；当 P G (0.1,1)时，广(p)00时，-7?,可以 N把超几何分布中的不放回抽样问题，
