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1、第1课 周期信号1.1 时域描述借助于时间和频率的信号处理理论，许多常被看作是信号的函数都用来进行信号处理。一个周期信号可看作是每隔T秒钟重复其本身的信号，其中T称之为信号波形的周期。周期波形的理论假定这种精确的重复延伸到整个时间轴上，不管是过去还是将来。实际上信号当然不能无限的重复它本身。不过，像电源整流器输出电压这样的波形，在平滑之前，还是重复本身很多次的，将其作为严格的周期信号进行分析，会产生颇有价值的结果。另一方面，像心电图这样的波形是准周期的，而且可以因为某种需要，把它当作真正的周期信号来处理。在通信信道中，一个真正的重复信号是没有什么用的，因为接收到第一个周期的波形后，就不会有更深
2、的信息传送过来了。讨论周期信号的主要原因之一是当处理周期信号和随机信号这种分析方法有很大帮助。周期信号的完整的时域描述包括详细指明其在每个瞬间的精确值。在一些例子中，使用数字表达很容易确定其精确值。幸运的是，在许多例子中，描述信号波形时，有用的只是某些特定方面，或者只用近似的数学公式来表达它。在特定情况下，所涉及的物理量如下：（1） 信号平均值；（2） 信号达到的峰值；（3） 信号在a，b值时的时间比例；（4） 信号周期。如果希望通过数学表达式得到近似的波形，可以使用多项式、泰勒级数以及傅里叶级数。一个n次多项式 (1-1)可以用来拟合n+1阶实际曲线。随着多项式幂的加大，拟合精度也逐渐提高。
3、应注意到，在拟合点范围之外，正确的信号波形与多项式之间的误差一般很大，而且多项式本身也不是周期的。尽管一个多项式逼近可以以一定数量的点拟合实际波形，但泰勒级数逼近可以针对一个固定点提供一条光滑的连续曲线。选择泰勒级数的系数，可以使得级数和它的派生项在某点更吻合实际波形。级数中幂的值决定了扩展的派生项的指数，以及在选定点区域内级数和实际波形吻合的精确度。在某点的区域内，泰勒级数近似函数的一般形式为： (1-2)一般来说，在选定点的区间内，级数与实际波形很吻合，但是在区间外，这种情况就会迅速的恶化。因此，在波形的一个限定区间，用多项式和泰勒级数描述信号波形以期达到很高精度。在所选择区间外，精度通常
4、会迅速降低，尽管可以通过补充一些项，使之有所改善（只要位于序列的收敛域内）。这种方法提供的近似式在形式上从来都不是周期变化的，因此也不能认为是描述周期信号的理想形式。相比较而言，傅里叶级数逼近在延拓时间间隔上，更好地符合信号波形的表达。当信号是周期性的，傅里叶级数描述的精度可以始终保证，因为这个信号可以表示成一系列的正弦函数的和，而正弦函数本身是周期性的。在详细分析表示信号的傅里叶级数方法之前，先介绍一下它的背景知识频域描述方法。1.2 频域描述频域分析的基本概念是，任何复杂波形都可以看作是许多具有适当振幅、周期和相对相位的正弦波之和。一个连续的正弦函数()在频率（弧度/秒）上被认为是单频波。
5、信号的频域描述涉及到这样一些基本函数间的断点问题，这就是傅里叶级数分析方法。有许多理由可以说明为什么在信号分析时信号成份中正弦波起到如此重要的作用。在一个延伸的时间间隔上，用一簇周期函数近似描述一个信号波形已经得到证明。后面将证明使用这种方法可以使得真实信号与它的近似波形间的误差降到最低。另一个正弦函数在信号分析中如此重要的原因是它们在物理上广泛被采用，并且易于进行数字处理。一个庞大的而且极其重要的机电系统，也称作线性系统，加上任何频率的正弦干扰后都会得到正弦响应。物理上正弦函数的所用这些表明用正弦函数进行分析将简化信号与潜在的物理因素间的关系或者信号与它通过的系统或设备的物理属性间的关系等问
6、题。最后，正弦函数可以形成一簇函数，这些函数称作“正交函数”。它的十分特殊的属性和优点下面将作讨论。1.3 正交函数1.3.1 矢量和信号通过分析信号和矢量之间的相似之处，引入用来描述信号的正交函数概念。矢量用大小和方向来描述，例如力和速度。假如有两个矢量V1和V2，几何学上通过在V1末端到V2上构造直角，我们沿着矢量V2来定义的矢量V1。有 (1-3)其中，矢量Ve是近似式中的误差。很明显，当这个误差矢量沿着V2方向被拉为直角时，它是最小的长度。因此，我们说沿着矢量V2，V1是通过C12V2给定的，这里C12的选择原则是使误差矢量尽可能的小。正交矢量系中熟知的例子就是在坐标几何学里三个相互垂
7、直的坐标轴的使用。在这里，矢量分析的基本思想可以推广到信号分析里去。假定，我们希望在一定的区间t1tt2内，通过另一信号或函数f2(t)去接近信号f1(t)，即 其中 通过选择C12可获得最佳逼近。若定义误差函数 (1-4)很明显，选择C12的目的是在选定区间内使fe(t)的平均值达到最小。这种误差标准的缺点是在不同时刻出现的正负误差趋近于互相抵消。如果我们选择使均方差最小，而不是误差本身（相当于使平均误差的平方根最小化，或r.m.s误差）最小，这个缺点可以避免。用表示f2(t)的平均值，可以得到=。 (1-5)对C12求微分，然后令所得表达式为0，就可以得到使最小的C12的值。即。去掉括号，
8、交换积分和微分的次序得出 (1-6)1.3.2 利用正交函数集描述信号假定我们在一定区间上通过函数f2(t)已经得到一个近似的信号f1(t)，并且均方差达到最小，但是现在我们希望改善波形的近似性。这需要证明根据一组互相正交函数f2(t)，f3(t)，f4(t)等来描述信号将会达到一个非常满意的效果。假设初始近似式是 (1-7)通过插值误差进一步减小 (1-8)其中f2(t)和f3(t)在有效区间内是正交的。由于并入了附加项C13f3(t)，均方差进一步降低了。误差如下式 (1-9)在区间t1tt2内，均方差为 (1-10)对C12偏微分可以得到使得均方差再次最小化的C12值，交换积分和微分的次
9、序，又可得到 (1-11)换言之，如果f2(t)与f3(t)在所选择的时间区间内正交，在并入用f3(t)表示的附加项以改善逼近程度时，系数C12不需要修正。同理，如果信号只是通过f3(t)逼近，那么C13的值也不会改变。这个重要结论可以推广到包括用整个正交函数集表示信号的情况。在进行逼近时，任何系数值与集合中用了多少函数没有关系，因此，即使包含更多的项时，这些系数也不会改变。利用一个正交函数集描述信号，类似于在三维空间中利用三个互相垂直的轴描述向量，这就引出了“信号空间”的概念。精确的信号表达往往需要多于三个正交函数，因此我们必须把一些区间t1tt2上的信号在多维空间上用一个点来表示。总之，有
10、许多正交函数集可用来近似描述信号波形，如所谓Legendre多项式和Walsh函数等，正弦函数集是其中最常用的。在t时刻上，多项式函数集不是周期的，但是它可用来描述周期波形的一个循环；在选定区间外，真实信号和近似式之间的误差会理所当然的迅速增加。然而，用正弦函数描述一个周期信号的一个循环在任何时候都是等效的，因为这些函数都是正交的。1.4 傅里叶级数傅里叶级数的基本理论是把复杂的周期波分解成许多简谐的正弦波，这些正弦波构成一个正交函数集。如果有一个周期为T的周期信号f(t)，它可用级数表示 (1-12)这里。这样，f(t)可以认为是由稳定值A0及许多不同频率的正弦或余弦波叠加而成的。最小频率（
11、弧度/秒）称为基频，这种频率的波与信号的周期相等。频率为2的波称为二次谐波，频率为3的波称为三次谐波，依次类推。必须对f(t)加上一定的限制，如狄里赫莱条件，才能使用傅里叶级数。在整个周期上的积分必须有上下限，也不可在限定的区间上有太多的断点。幸运的是，实际中的信号波形都能满足这些条件。1.4.1 系数的计算问题已转化为计算系数A0，An和Bn，使用前文所述的最小方差准则，以及为描述起来方便起见，有 (1-13)尽管在大多数例子中，关于原点对称的区间积分起来很方便，但是还是应该选择长度等于信号波形周期的区间。许多实际波形要么是时间的偶函数，要么是奇函数。如果f(t)是偶函数，根据定义有f(t)
12、= f(-t)，而如果f(t)是奇函数，则有f(t)=-f(-t)。如果偶函数乘以奇函数，结果也是奇函数。这样每个Bn的被积函数都是奇函数。当一个奇函数关于t=0对称的区间上积分时，结果为零。因此，所有的系数B都是零，级数中只剩下余弦项了。同理，如果f(t)是奇函数，那么系数A必为零，级数中只有正弦项。直观上很明显，偶函数只能由其他的偶函数构成，反之，奇函数也一样。我们已经看到，在偶函数或奇函数的例子中，通过消去它的正弦项或者余弦项，傅里叶级数得到简化。在具有“半波对称”的波形例子中，出现的简化形式也不同。在数学上，“半波对称”存在的条件是 (1-14)换句话说，在波形上任何相差T/2的两个值
13、数量相等，符号相反。一般来说，只有奇的简谐波具有“半波对称”，因此具有这种对称的任何复杂波形都不包含有偶的简谐波成分，相反，包含有二次，四次或其他次谐波的波形都不能表现出“半波对称”的特点。通常我们总是在整个周期上积分得出系数值，然而在奇函数或偶函数的例子中，比较简单的是只要在半个周期上积分，然后乘以2就可以了。另外，如果波形既是偶函数或者及函数，也表现出“半波对称”，那么只要在1/4个周期上积分，然后乘以4就可以了。在具有上述函数的例子中，这些比较近似算法是合适的，因为在这种情况下，积分是重复的，而在一个周期内还有“半波对称”时，积分要重复2次。1.4.2时间原点的选择以及波形功率对于一个具
14、体的波形而言，如果它是偶函数或奇函数，那么计算该波形傅里叶级数系数的工作量可以通过适当的选择时间原点来减小。这种转变只是把只含有正弦项的傅里叶级数转化为只包含余弦项，而在任一频段的振幅都正与我们所料，是不会改变的。对于既不是偶函数也不是奇函数的复杂波形来说，在其傅里叶级数里一定包含有正弦项和余弦项。随着波形时间原点的改变，傅里叶级数的正弦和余弦系数也将改变，但是任何两个系数An和Bn的平方和仍然是常量，也就是电子工程师非常熟悉的波形平均功率是不变的。上述思想很自然的得出两种三角形式的傅里叶级数。若有两个基波为和.使用三角恒等式，傅里叶级数有两种形式来表示+= (1-15)这样在一个特殊的频段上，正弦和余弦部分可表示成单一的余弦或正弦波形式，只是相位有所改变。如果这种过程应用到所有傅里叶级数的谐波中去，就得到以下两种形式 或 (1-16)其中, , (1-17)最后，要注明的是用任何波形表达的正弦平均功率是 (1-18)项的功率简单的表示成，总的波形平均功率为 (1-19)但是，功率P可表示为的一个周期上的平均值。再次使用，是因为它常被认为是一个电压波通过1欧姆电阻所产生的功率。因此 (1-20)这个结果是一个常用形式，称为Parseval定理。它表明了整个波形功率是傅里叶级数中部分功率之和。然而，
