《三角恒等变换之辅助角公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角恒等变换之辅助角公式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、辅助角公式 a sibcos = , a b2 sinC )在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化asinr bco为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等 为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法，教师们总结出公式 a sin bcos 二 a2 b2 sin )或 asin bcos= a2 b2 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1求证： .3 sin a +cosg =2sincos(r - ),让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用 .但事与愿违，半个 学期不到，大部分学生都忘了，教师不得不重推一遍到了高三一轮复习
2、，再次忘 记,教师还得重推！本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导，体现一种解决 问题的过程与方法，减轻学生的记忆负担；同时说明“辅助角”的范围和常见的取 角方法,帮助学生澄清一些认识；另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用，优化 解题过程与方法；最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用，让学生把握辅助 角与原生角的范围关系，以更好地掌握和使用公式jiJi(+) =2cos G - 一 ).63其证法是从右往左展开证明，也可以从左往右“凑”，使等式得到证明，并得出 结论：可见，x3sin : +co 可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin二+bcos是否可以化为一个角的三角函数形式呢 ？
3、2.辅助角公式的推导例2化asin bcos为一个角的一个三角函数的形式.解:asin-+bcos 丁 = 、a2b2(a a2b2b a2 b2cos71 ),ab 令=cos ： ,=sin ：,xa2b2、a2b2贝U asin r +bcos = a2 b2 (sin ： cos +cos= sin )= a2 b2 sin(二 +),(其中 tan =)a#a,a2 b2=si n ,=COS,贝y、a2b2asin v +bcos ：= a2b2 （sin v sin+cos ； cos）= i a b2 cos（心心 a-：),(其中 tan :=)b其中的大小可以由si n、c
4、os的符号确定的象限,再由tan的值求出.或由tan二一和(a,b)所在的象限来确定.a推导之后，是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题：一是为什么要令ab=cos,=sin？让学生费解.二是这种 “规定”式的推,a2 b2、a2 b2导,学生难记易忘、易错！二.让辅助角公式asin bcos，= a2 b2 sin0)来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些？这是我多少年来一直思考的问题.2009 年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易 懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，asin bcos已经是一个角的一个三角函数的形式，无需
5、化简.故有abM 0.：的终边1.在平面直角坐标系中，以a为横坐 标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示, 则总有一个角;：,它的终边经过点P.设OP=r,r= a2 b2 ,由三角函数的定义知sin -：cosb= b厂X2，a = ar , a2 b2所以asin-+bcos = 、a2b2 cossin71 + i a2b2 sin cos-=、a2 b2 sin）.（其中 tan = 一）a#2.若在平面直角坐标系中，以b为 横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a), 如图2所示,则总有一个角-的终边经过点 P(b,a),设 OP=r，则 r=a2b2 .由三角函数的定义知sinc
6、osba2 b2asinr+bcos =、, a2b2sin sin,a2 b2 cos cos-Ja2 + b2cos -.(其中 tan =)b例3化3sinco为一个角的一个三角函数的形式.解：在坐标系中描点P( v3 ,1),设角，的终边过点p,则OP=r=12 =2.s in=丄,cos2 2sin 日 +cos日=2cos sin 日 +2sin cos&=2sin(二 ：).tan ：2k：、3si- 5=2*经过多次的运用，同学们可以在教师的指导下JI,总结出辅助角公式asin 二 +bcos 二= a2 b2 (aa2 b2sin a2 b2)=a2 b2 sin(J),(其
7、中 tan =匕).或者aasin r +bcos ra2 b2 ( aa2 b2sina2 b2)=、a2 b2 COSC - ),(其中 tan=a)b#我想这样的推导，学生理解起来会容易得多，而且也更容易理解abasin 二 +bcos=凑成 i a b (sin +cos )的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sin，-乙3cos为一个角的一个三角函数的形式.解法一：点(i,-.3 )在第四象限.OP=2.设角过点则sin 二-cos=1.满足条件的最小2#二 2k二，k 乙3_ 1sin ： - 13cos：二 2（sin-2）=2si n（：cos： ） = 2（sin ：
8、 cos2cos： sin ）2sin（：2k二）=2sin（：-3）.：占八、第二象限，0P=2,占八、#sin5一 316满足条件2k=,k Z.#sin ： -、3cos： - 2（sin :2亠cos22（sin ： sincos：cos ）#朋5-2cos（ ： - ）= 2cos（：6- 2k）= 2cos（ ： - 乞）.6#三. 关于辅助角的范围问题由 asin= bcos 二.a2 b2 sinC)中，点 P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1,则二i 2k：.由诱导公式(一)知a s
9、i n 寸 bcos 二 a2 b2 sinf ） = a2 b2 sinf J .其中 (0,2二),ta n：二一,S的具体位置由sin：、与cos 1决定，的大b小由tan S二一决定.类似地，asin= bcos = a2 b2 cos()，:的终边过点p (b, a),设满足条件的最小正角为 申2，则申=匕+ 2.由诱导公式有asin寸bcos 一 a2 b2 cos - ) = ab2 cos(-2)，其a中(02)，tan 2， ;:2的位置由sin：:2和cos 2确定，;:2的大小由 tana确定.2 b注意：一般地，1 =丨：以后没有特别说明时，角1 (或2)是所求的辅助角
10、.四. 关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为a sin bcos ： a2 b2 sin J 的 形 式 或a sin bcos a2 b2 cos - 2)的形式.可以利用两角和与差的正、 余弦公式灵活处理.例5 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式.解:13sin： -cos：sin： -cos： = 2( sin：2cos：)2=2(sin ： cos cos： sin )6 6=2si n( )6(1) .3sin ： - cos：；在本例第(1)1),而取
11、的是点p们可以取卩(a ,就更加方便.、2 二 6 二sin( ) cos( )6363,2 1二C3sin( )cos()3 2323、2二二二二sin()coscos()sin 33333J22 -sin( )3 3小题中，a = 3 , b(, 1).也就是说,=-1，我们并没有取点P( .3 ,-当a、b中至少有一个是负值时.我b ),或者p( b , a).这样确定的角；：1 (或；：2 )是锐角,例6已知向量-1)7171a 二(cos(x ),1), b = (cos(x )33c = (sin(x ),0),求函数h(x) =a b 2的最大值及相应的 x 3的值.2 解：h(
12、x) = cos (x )-32sin(x )cos(x )23 3#1 cos(2x 2 二)吕迈 cos(2x 2 二)223-迈 si n(2x 2 - ) 2 231 2 、3-si n(2x )-2 32丄cos(2x 2二)-丄sin(2x - ) 22323#) 2/211cos(2x212maxh(X)max 二 2211 11这时2X x十一才心.此处，若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁，而且易错,请读者一试.五. 与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围，在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点. 例7如图3,记扇OAB的中心角为45 ,半径为1,矩形PQMh内接于这个扇形,求矩形的对角线I的最小值.解：连结OM,设/ AOM=.则MQsi,oq二cost ,OP=PN=si.PQ=OQ-OPosr - si.I2 = MQ2 PQ2=sin2 二 (cost - sin )2图3=3 - (sin2 -cos2)2 2=3 -乓in(2 =2 2J,其中tan 1 二 1 才1(0,-), 1 二 arctan .H1兀10,arcta n2arcta n.4 2222min3卫l imin-.5-12所以当-arctan】时，矩形的对角线I的最小值为上4222#
