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1、微积分第一章 函数、持续、极限一、函数：.函数的性态:有界性区间内持续函数必有界，反之否则。 同区间内导数有界则原函数有界。 区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界(下届）。 措施:定义、结合极限、持续与导数来拟定。单调性单调函数一定有反函数且单调性相似。 单调函数的复合函数仍然是单调函数。 单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。 措施:运用导数符号分析。周期性f(x)f(） 以T为周期的可导函数,其导数以T为周期,但原函数不一定为周期函数。 以T为周期的持续函数: aa+Tfxdx=0Tf(x)dx=-T/2T/2fxdx 0nTfxdx=n0Tf(x)dx 措施:定义，运用常
2、用函数判断(三角函数)。奇偶性前提:定义域有关原点对称。 奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=奇，偶偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。求导后变换奇偶性。f（x）为偶 (x）为奇,f()为奇f(x)为偶。若f()定义域有关原点对称,则：f（x)=f（x)-(-x） f(x)+f(-x) 式中前者为奇，后者为偶。措施:定义2.有关：反函数单调函数一定有反函数,反函数与直接函数单调性相似,图像有关y=对称求定义域分式中分母不为0,根式中负数不能开偶次方根,对数中底数不小于0不等于1，真数不小于0,arsinx与accsx中-1xtnx,sec中x
3、k+ ，osx与csx中x求体现式换元法，分段函数分段求。二、极限1.数列的极限：定义给定数列Xn及常数a,若对于任意给定的正数0，总存在正整数N，使得当nN时,有|Xn-|恒成立，则称常数为数列Xn的极限，或者称数列收敛于a,极为limnXn=a。性质唯一性:数列收敛则极限唯一。有界性:收敛数列一定有界。 保号性:如果limnXn=a，且a0（或0）,那么存在正整数,当n时，均有Xn0（或Xn0）。如果limnXn=a,limnYn=b，且a,那么存在正整数N,当n时，均有Y。 如果数列收敛于a,那么此数列的任意子数列都收敛于a。求法运用通向体现式转化为函数进行计算，若limxf(x)=A,
4、则limnf(n)=A。 若数列通项是n项和或积时,可运用积分定义,设f（x）在a，b上持续,则: limnk=1nfa+b-ankb-an=abf(x)dx limn1nk=1nf(kn)=01f(x)dx2.函数的极限：定义性质唯一性:有极限则极限唯一。局部有界性:XX0时f(x),则f()在的某去心邻域内有界。局部保号性：XX时f(x)A,A0(或0)，则在x0的某去心邻域内f(x0（或f()0）。反之亦然。 求法化简:无穷小量等量代换，分子分母同步除以最高次的项，根式有理化 洛必达法则 导数的定义 运用两个重要极限变形 幂指函数极限 limf(x)g(x)： limf(x)g(x)=l
5、imegxlnf(x)=elimgxlnf(x) 变量代换：题设x时，设t=1x 往往可以简化计算 带皮亚诺余项的泰勒公式展开: ex=1+x22!+x33!+o(x3); ln1+x=x-12x2+13x3+o(x3) sinx=x-13!x3+15!x5+o(x5); cosx=1-12!x2+14!x4+o(x4) 11-x=1+x+x2+x3+o(x3)； (1+x)=1+x+(-1)2!x2+-1(-2)3!x3+o(x3) 运用左右极限求极限:分段函数：绝对值函数,取整函数x,最大最小,符号函数sgn（x）,且求分段点的极限时,要从左右极限入手当极限式中涉及limxarctanx，
6、limxarccotx，limxax时,要从x-，x+入手含参变量的极限应考虑参变量的范畴求已知极限中的待定参数,函数值，导数及函数等： limfxg(x)=A,limfx=limg(x)=0 limfxgx=A,limgx=0limf(x)=03.无穷小量与无穷大量性质limfx=Afx=A+(x),其中(x)是此极限过程下的无穷小量。 有限个无穷小量的和、积均为无穷小量 无穷小量有界量仍为无穷小量。比较同一变化中,(x)0，则对于lim(x)(x) 若为0，则称(x)是x的高阶无穷小,记作(x)=o(x） 若为,则称(x)是x的低阶无穷小。 若为,则等价。若为常数,则同阶。若lim(x)(
7、x)k=C，则则称(x)是x的k阶无穷小等价无穷小 ex-1x ax-axlna (1+x)m-1mx 1-cosx12x2 x-sinx16x3 x-ln(1+x)12x2 乘除因子项可直接替代等价无穷小，加减项不可。无穷大量当n时,按照趋向无穷的速度越来越大排列的函数：lnn，naa0，ana0，n!，nn.极限的运算四则运算若limfx=A,limgx=B，则： limfxg(x)=ABlimfxg(x)=AB limfxgx=AB(B0) limf(x)g(x)=AB(A0)若limf存在但limg不存在,则limfg和limfg也许存在也也许不存在。重要成果 limx(x)1x=1；
8、 limx0+(x)1x=0; limx0+xx=1; limnna=1，a1； limnnn=1 limfxg(x)=A,limfx=limg(x)=0 limfxgx=A,limgx=0limf(x)=05.两个重要极限： limx0sinxx=1 limx0(1+x)1x=e或limx(1+1x)x=e设(x)0，则 limsin(x)(x)=1。 设(x)A,g(x),则 limf(x)g(x)=lim1+(fx-1)1fx-1fx-1g(x)=elimfx-1g(x) (1式） 或limf(x)g(x)=limegxlnfx=elimgxlnf(x)=elimgxfx-1.极限存在准
9、则:单调有界准则单调不增或不减，且有上界或下界的数列X必有极限。夹逼准则如果数列XYnZn满足YXnZn(=，2);limnYn=a,limnZn=a，则limnXn存在且等于a函数的极限存在准则类似。.洛必达法则:定义注意只有00，的未定式才可使用。 尽量结合等价无穷小替代、变量替代简化运算。 非零因子项(乘或除项）的极限用四则运算法则先求出后再使用洛必达法则。三、函数的持续与间断.持续的定义x0点处x0的某邻域，若limxx0f(x)=f(x0),则()在点x0处持续。左持续与右持续。开区间持续对于任意0(，b）,f(x）在0持续，则称f(）在(a,b)内持续闭区间上持续f（)在(a，b)
10、持续，且 limxa+f(x)=fa，limxb-f(x)=f(b)半开半闭区间上持续应用判断抽象函数的持续性2.持续的条件同步满足f(x)在x0点有定义，limxx0f(x)存在,且limxx0f(x)=f(x0)f(x)在0点持续f(x)在x0点既左持续,又右持续。3.间断点定义不满足持续三个条件的点分类第一类间断点第二类间断点可去间断点:左右极限存在且相等左右极限至少有一种不存在的点,分为无穷间断点、震荡间断点等。跳跃间断点:左右极限存在但不想等 判断求出也许间断点的左右极限4持续函数的性质:基本初等函数在其定义域内持续，初等函数在其有定义的区间内持续。持续函数的和差积商以及复合仍为持续
11、函数。(x)在a,b内持续，则axftdt(axb),在a,b上可导,对axftdt在a,b上可应用最值、介值、零点定理。设f（x）在x0处持续,若limxx0f(x)x-x0=A，则f(x0)=0,且f(x)=A持续函数在闭区间上的性质证明题构造(x）后使用 有界性与最大最小值定理:闭区间内持续函数一定有界且一定能取到最大最小值。 介值定理：在，内f()=A,f(b）=B,CA,B,则(a,b)内至少有一点使得f()C 闭区间上的持续函数可以取到其区间上的任意有限个函数值的平均值。 零点定理：f(x)在a,b内持续且f(a)(b)0，则（a,b)内至少有一点使得(）=0第二章 一元函数微分一
12、、导数与微分.导数的概念定义设函数y=f(x）在点x0的某个邻域U（x)内有定义,并设x0x（0)。若极限limx0fx0+x-f(x0)x 存在，则称y（)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=（)在点x处的导数,记为(),即f(0）limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x 。也可记作y=|x=x0,dydx|x=x0或df(x)dx|x=x0。左导数与右导数limx0-fx0+x-f(x0)x 或 limx0+fx0+x-f(x0)x导数与极限的联系 (x）= limxx0fx-f(x0)x-x0 若f（x0)存在,limxx0g(x)=limxx0h(x)=x0，则（在下列极限存在时） limxx0fg(x)-f(x0)g(x)-x0=f x0，(g(x)x0) limxx0fg(x)-f(x0)x-x0=f x0limxx0g(x)-x0x-x0，设limxx0g(x)-x0x-x0存在。 limxx0fg(x)-fh(x)x-x0=f x0limxx0g(x)-h(x)x-x0，设limxx0g(x)-h(x)x-x0
