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1、勾股定理一、知识清单勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于 ；勾股定理的逆定理：三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 三角形.二、夯实基础1若直角三角形的三边长分别为6，8，x，则x= ；2.边长为a的等边三角形一边上的高是 ，面积是 ；高为2的等边三角形面积是 .3.（2010，钦州）如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4cm B.5cm C.6cm D.10cm第5题第3题第4题 4.(2009，达州)如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
2、三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.945.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示，图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接形成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3若S1S2S310，则S2的值是_6.如图所示的一块地，ADC90，AD12m，CD9m，AB39m，BC36m，求这块地的面积 三、典型例题类型一：运用勾股定理计算线段的长度例1.如图，在ABC中，A=90，P是AC的中点，PD
3、BC，D为垂足，BC=9，DC=3，求AB的长. 变式题1.（2011，山西）如图，已知AB12，ABBC于B，ABAD于A，AD5，BC10，点E是CD的中点，则AE的长是_类型二：运用勾股定理解决折叠问题例2.如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm变试题2.（2009，衡阳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（） A.1 B. C. D.2类型三：运用勾股定理求面积例3.如图所示，已知四边形
4、ABCD中，AB=AD=8，A=60，ADC=150，ABC=90，求四边形ABCD的面积.变式题3.（2009，赤峰）公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，B=C=120，A=45，请你求出这块草地的面积。类型四：运用勾股定理解决最值问题例4.如图所示，已知长方体的长是2cm，宽是1cm，高是4cm.一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B/点，那么沿哪条路线最短？最短路程是多少？变式题4.如图，长方体的长为10cm,宽为10cm,高为20cm,点B距点C为5cm,一只蚂蚁在点A处发现点B处有一只被黏住的小虫，蚂蚁要沿着长方体表面从点A爬到点B吃掉小虫，需要爬行的最短路程是
5、 cm.类型五：运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形例5.如图，设P是等边ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数.变式题5.如图，O为正方形ABCD内一点，且OA=1，OB=2，OC=3，求AOB的度数.四、方法归纳1.计算线段的长度时，常常用到勾股定理；2.折叠问题实际上就是轴对称问题，关键是抓住折叠前后相等的边和相等的角.方程是解决数学问题的重要手段，勾股定理是方程在几何应用中构建相等关系的一座桥梁；3.通过添加辅助线将不规则图形面积转化为规则图形面积来求，是求解面积问题常用方法；4.注意将立体图形展开为平面图形，并构造直角三角形，利用勾股定理求解；5.下列情形，
6、根据需要，常常实施图形变换： （1）图形中出现角平分线，常常将三角形轴反射； （2）图形中出现等边三角形或正方形，常常实施旋转，把旋转角分别定为60、90.6.当题目中涉及线段平方时应联想到勾股定理，若这些线段不在一个直角三角形中时，则应添加辅助线，将分散的线段集中到同一直角三角形中.五、考题演练1.（2011，遵义）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是_2. 如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形和，如此继续下去，若正方形
7、的面积为64，则正方形的面积为 .3.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形面积依次为S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= .4. 规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h。一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25m处有车速检测仪O，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所用时间为1.5s.（1）试求该车从A点到B点的平均速度。（2）试说明该车是否超过限速。（）5. 如图，在等腰直角三角形中，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF.（1）求证：；（2）若BE=12，CF=5，试求DEF的面积.
