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1、数值分析试题一、填空题(2 0X2)1. 设x=0.231是精确值x*=0。229的近似值，则x有位有效数字.2. 若f (x)=x7x3 + 1,则f 20, 21,22, 23,24, 25,26, 27 = ,九20,21,22,23, 24,25,26,27, 28=0.3. 设，11 A II5,11 X II “=_3,II AX II 15.4. 非线性方程f (x) =0的迭代函数x=(x)在有解区间满足丨0(x)11，贝V使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5. 区间a, b上的三次样条插值函数S (x)在a, b上具有直到2阶的连续导 数。6. 当插值节点为等距分布时
2、,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式。7. 拉格朗日插值公式中fxz.)的系数az. (x)的特点是：；所以当系数a,(x)满足az (x)1，计算时不会放大f (xz)的误差.8. 要使的近似值的相对误差小于0。1%,至少要取4 位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0, 1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是。10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最
3、高是5。x00。511.522。5y=f (x)21.7510。2524。2511. 牛顿下山法的下山条件为。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差rz (i=0,1,，n)来实现的，其中的残差-=, &=0丄，n)。13. 在非线性方程f (x) =0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x )的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0 ) f ( x0) 0.14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题(10X1)1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX=b 一定可以使用高斯消元法求解( X )2、解非线性方程f ( x
4、) =0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。(V )3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX=b的高斯塞德尔迭代法一定收敛.(X )4、 样条插值一种分段插值。( V )5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( V )6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差 及舍入误差。(V)7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b。 (X)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步 迭代计算的舍入误差。(X)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，
5、则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。(V)10、 插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。( X )三、计算题(5X10)1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答:( 1， 5，2)最大元 5 在第二行，交换第一与第二行：L21=1/5=0。 2， l31=2/5=0.4 方程化为：(0。 2， 2。 6)最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2。 6=-0。 076923，方程化为：回代得：2、用牛顿一-埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x),并写出其截断误差的表达式(设fx)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1
6、F xi o xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3F xi,xi+1, xi+2, xi+3, xi+401112111323430235121P4(x)=1-2x-3x(x-1)x(x1)(x-1) (x2)R4(x) =f(5) (g) /5!x (x-1) (x1) (x-2) (x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯-赛 德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法 的迭代公式，并简单说明收敛的理由.解答:交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：计算机数学基础(2)数值分析
7、试题一、单项选择题(每小题3 分，共15分)1。已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x=0o 0a,a2a X 10s (a仔0)的绝对误差|x*1 2 n 1x | ().(A) 0.5X10 sit(B) 0o 5X10 s(C) 0.5X 10s+1t(D) 0.5X10 s+t2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )( A) ，( B)( C)( D)3o过(0, 1), (2,4), (3, 1)点的分段线性插值函数P (x)=()(A)(B)(C)(D)4. 等距二点的求导公式是( )(A)(B)(C)(D)5。解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是 那么y , y
8、分别为().pc( A)(B)( C)(D )二、填空题(每小题3分,共 15分)6。 设近似值x1,x2满足 (x1)=0。05, s(x2)=0.005，那么s(x1x2)=.7。 三次样条函数S(x)满足:S(x)在区间a,b内二阶连续可导,S (xk)=y(已知),k=0, 1, 2, .,n, 且满足S(x)在每个子区间xk，xk+1上是.8。 牛顿一科茨求积公式，则=。9。解方程f(x) =0的简单迭代法的迭代函数甲(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10。解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值:，校正值：yk+1=.三、计算题(
9、每小题15分，共60分)11。用简单迭代法求线性方程组的X(3).取初始值(0,0, 0) T,计算过程保留4位小数.12。已知函数值f(0)=6, f (1)=10, f(3) =46f (4) =82, f (6) =212，求函数的四阶均差f (0, 1, 3, 4, 6)和二阶均差 f(4, 1, 3)13。将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分,计算过程保留4位小数14。用牛顿法求的近似值，取x=10或11为初始值,计算过程保留4位小数.四、证明题(本题 10分)15。证明求常微分方程初值问题在等距节点a=x0X.xn=b处的数值解近似值的梯形公式为 y (xk+1)yk+1=y
10、k+ f (xk，九)+f (x+1，yk+M 其中 h=xk+1xk(k=0,1, 2, . n1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分,共15分)I. A 2. B 3。 A 4. B 5. D二、填空题(每小题3分,共15分)6。0。05 | x2l+0。005 | x117。3 次多项式8. b_a9。|(x) |r110. yk+hf(xk+1，).三、计算题(每小题15分,共60分)II。写出迭代格式X(0)=(0,0, 0)T.得到 X 二(2.5, 3, 3)t得到 X(2)=(2.875, 2。 363 7, 1。 000 0) T得到X(3)= (
11、3。136 4, 2。045 6, 0.971 6) t。12. 计算均差列给出f (xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f（0，1，3,4,6）=f（4， 1， 3）=613。 f (x) =, h=.分点 x0=1.O, X=l。25, x2=l。5, x3=1.75,x4=2.0,x5=2.25,x6=2o 50, x7=2。 75,x8=3.0.函数值f (1。0) =1o 414 2, f (1.25) =1.600 8f (1。5) =1。802 8, f (1。75) =2.015 6, f
12、(2。 0) =2.236 1,f(2。 25) =2.462 2,f(2.50) =2。 692 6, f(2。 75) =2。 926 2, f(3。 0) =3。 162 3.(9 分)=X 1.414 2+3。162 3+2X(1。600 8+1.802 8+2。015 6+2.236 1+2.462 2+2。 692 6+2。 926 2)=0.125X(4。 576 5+2X15。 736 3) =4。 506 114。设 x 为所求,即求 x2115=0 的正根. f( x)=x2115.因为f(x)=2x, f(x) =2, f(10)ff(10) = (100 115)X2v
13、0f (11)广(11)= (121 115)X20 取 x0=11.有迭代公式xk+1=xk=(k=0, 1, 2, )x1= = 10.727 3兀2= = 10。723 8兀3= = 10。723 8x*10。723 8四、证明题(本题 10分)15o在子区间xk+1，xj上，对微分方程两边关于x积分，得y(xk+1)y(xk)= 用求积梯形公式,有y(xk+1)y(xk)= 将 y(xk)，y(xk+1)用 yk，yk+1 替代，得到y(x+1)叫刊+f(xk，ykfxk+1，yk+1)(k=0，1，2，-，n1)数值分析期末试题一、填空题(分)(1) 设，则 13.(2) 对于方程组
14、,Jacobi迭代法的迭代矩阵是。(3) 的相对误差约是的相对误差的倍.(4) 求方程根的牛顿迭代公式是。(5) 设,则差商1。(6) 设矩阵G的特征值是，则矩阵G的谱半径.(7) 已知，则条件数9(8) 为了提高数值计算精度，当正数充分大时，应将改写为.(9) 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为次.(10) 拟合三点，,的水平直线是。二、(10分)证明:方程组使用Jacobi迭代法求解不收敛性.证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为的特征多项式为的特征值为,，故1,因而迭代法不收敛性。三、（10 分）定义内积 试在中寻求对于的最佳平方逼近元素。解：，,.法方程解得，。所求的最佳平方逼近元素为，四、（10 分）给定数据表x-21012y0.10。10.40。91。6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。 解：法方程的解为，
