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1、练习 第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: 22(1)平方差公式 ; ()()ababab，,222(2)完全平方公式 ( ()2abaabb,，我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2233(1)立方和公式 ; ()()abaabbab，,，,，2233(2)立方差公式 ; ()()abaabbab,，,2222(3)三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac，,，33223(4)两数和立方公式 ; ()33abaababb，,，33223(5)两数差立方公式 ( ()33abaababb,，,对上面列出的五个
2、公式，有兴趣的同学可以自己去证明( 22【例1】 计算:( (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，2222，(1)(1)xxx,，,解法一:原式= ，242 = (1)(1)xxx,，6x,1 =( 22解法二:原式= (1)(1)(1)(1)xxxxxx，,，,，33 = (1)(1)xx，,6x,1 =( 222abc，【例2】 已知abc，,4，abbcac，,4，求的值( 2222解: ( abcabcabbcac，,，,，,()2()8练习: 123xx,，,3101、已知，求的值( x，3x12xx,，,310解: ？x,0 ？x，,3x1111222原式= (x，)(x,1，
3、),(x，)(x，),3,3(3,3),182xxxx111111a，b，c,02、已知，求的值( abc()()()，bccaab？a，b，c,0,？a，b,c,b，c,a,c，a,b解: b，ca，ca，ba,，b,，c, 原式= ？bcacab第1页 练习 333aabbccabc()()(),， ? ,，,bcacababc33223 ？a，b,(a，b)(a，b),3ab,c(c,3ab),c，3abc3abc333？a，b，c,3abc ?，把?代入?得原式= ,3abc说明:注意字母的整体代换技巧的应用( 1.1.2. 因式分解 因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公
4、式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法( 一、公式法 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: 338，x0.12527,b (1) (2) 333382,分析: (1)中，(2)中( 0.1250.5,27(3),bb3332解:(1) 82(2)(42)，,，,，,，xxxxx33322 (2) 0.125270.5(3)(0.53)0.50.53(3),，bbbbb2 ,，(0.53)(0.251.59)bbb333说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，8(2)abab,nnn这里逆用了法则;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，
5、一定要看准因式中各项的()abab,符号( 二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式(而对于四项mambnanb，以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取(因此，可以先将多项式分组处理(这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法(分组分解法的关键在于如何分组( 2222 【例2】把分解因式( abcdabcd()(),分析:按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式( 22222222解: abcdabcdabcabdacdbcd()(),，第2页 练习 2222 ,，,()()abcacdbcdabd,，,
6、，acbcadbdbcadbcadacbd()()()() 说明:由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律(由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用( 222 【例3】把分解因式( 2428xxyyz，,222 分析:先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全xxyyz，,24平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式( 222222解: 24282(24)xxyyzxxyyz，,，,22 ,，,，,2()(2)2(2)(2)xyzxyzxyz说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后，
7、各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式( 三、十字相乘法 2xpqxpq，()1(型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是: ;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和( (1) 二次项系数是122 xpqxpqxpxqxpqxxpqxpxpxq，,，,，,，()()()()()2因此， xpqxpqxpxq，,，()()()运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式( 【例4】 分解因式: 22 (1)x,3x，2; (2)x，4x,12; 2
8、2xyxy,，,1 (3); (4)( xabxyaby,，()2 解:(1)如图1(2,1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分2解成,1与,2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为,3x，就是x,3x，2中的一次项，所以，有 2x,3x，2,(x,1)(x,2)( x 1 x 1 ,2 ,1 ,ay ,1 1 x x 1 6 ,2 ,by ,2 图1(2,3 图1(2,1 第3页 图1(2,4 图1(2,2 练习 说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1(2,1中的两个x用1来表示(如图1(2,2所示)( (2)由图1(2,3，得 2x，4x,12,(x,2
9、)(x，6)( (3)由图1(2,4，得 22x ,1 ()()xayxby, , xabxyaby,，()y 1 xyxy,，,1(4),xy，(x,y),1 图1(2,5 ,(x,1) (y+1) (如图1(2,5所示)( 22(关于x的二次三项式ax+bx+c(a?0)的因式分解( 2若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式axbxca，,0(0)xx122就可分解为. axxxx()(),axbxca，,(0)12【例5】 把下列关于x的二次多项式分解因式: 222xx，,21(1); (2)( xxyy，,442xx，,21x,，12x,12解: (1)令=0，则解得， 122，
10、xx，,21= ?xx,，,(12)(12)，=( (12)(12)xx，,，22xy,，(222)xy,(222)(2)令=0，则解得， xxyy，,441122 ?=( 2(12)2(12)xyxy，,，xxyy，,44四、其它因式分解的方法 1(配方法 2xx，,616 【例6】分解因式 222222解: xxxxx，,，,，,616233316(3)5,，,，,(35)(35)(8)(2)xxxx 说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解(当然，本题还有其它方法，请大家试验( 2(拆、添项法 32xx,，34 【例7】分解因
11、式 分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行(细查式中无一次项，第4页 练习 如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决( 3232解: xxxx,，,，,34(1)(33)22 ,，,，,，,，,，,(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)xxxxxxxxx22 ,，,，,，,(1)(44)(1)(2)xxxxx说明:本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成222,3x可以用公式法及提取公因式的条件(本题还可以将拆成，将多项式分成两组xy,4232,，44x和( ()xx，
12、一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止( 练习:1(把下列各式分解因式: 333a，278,m,，278x (1) (2) (3) (把下列各式分解因式: 234nn，332232 (1) (2) (3) xxy,yxxy(2),，xyx，3(把下列各式分解因式: 2222xx,，32xx,627mmnn,45 (1) (2)
13、 (3) 4(把下列各式分解因式: 543nnn，21222axaxax,，1016aabab，,6 (1) (2) (3) (2)9xx,222 (4) (5) 82615xxyy，,7()5()2abab，,，,5(把下列各式分解因式: 32228421xxx，, (1) (2) (3) 33axayxyy,，,51526xxxyy,，,43222422663abababab，, (4) (5) (6) 414xyxy，,xyx,，212 (7) xxyxyx(1)()，,，22222ababab，26(已知，求代数式的值( abab，,23第5页 练习 53nnn,，547(证明:当为大
14、于2的整数时，能被120整除( n3223aacbcabcb，,，,08(已知，求证:( abc，,0答案: 2221( (3)(39),(2)(42),(23)(469),aaammmxxx，,，,，,，2222n224322( xxyyxyxxxyxxyy()(),()(),，,，,，yxxxxx(1)(4321),，(2)(1)xx,(9)(3)xx,，(5)()mnmn,，3(， 3n2(2)(415),xyxy,，4( ; ; axxx(2)(8),aabab(3)(2)，,(3)(1)(23)xxxx,，,，(772)(1)abab，, 2(12)(12),，,xyxy5(; ()
15、(3),(21)(21),(3)(52)xyayxxxxy,，,，23333( abababxyxyxxyxy()(),(1)(1),()(1)，,，,，286( 3537( nnnnnnnn,，,，54(2)(1)(1)(2)3223228( aacbcabcbaabbabc，,，,，()()1.,.3(绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零(即 aa,0, |0,0,aa,aa,0.,绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离( a,b两个数的差的绝对值的几何意义:表示在数轴上，数和数b之间的距离( a绝对值的性质:
