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1、GCT数学复习资料 一元微积分下面是研究生考试网为考试整理的GCT数学复习资料一元微积分，希望能给考生一些帮助。一元微积分内容总结一、有关函数进一步讨论：二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质； 1无穷大与无穷小的关系；理解无穷小比较； f(x)=o(g(x)（c0，c1）第三章 连续函数连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。给出具体函数找间断点
2、。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；最大值存在性和最小值的存在性；第四章 导数和微积分的概念、导数的运算1.概念；2.性质；可导定连续；反之不成立。可导和可微是等价的；反之亦成立。3.运算；基本初等函数的导数要记住；加减乘除的求导法则记住；复合函数的联导法则要记住；一、两类概念1反映函数局部性质的概念极限、连续、可导（导数）、可微（微分）、极值（点）等2反映函数整体性质的概念有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等二、三种运算1极限运算常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等2求导运算需要掌握：定义、基本导数公式、
3、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式3积分运算（1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法（2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法三、几个应用1单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根）2凹凸性、拐点问题3平面图形的面积问题一元微积分中的常见问题求函数表达式的问题1已知, 求的表达式解：令 得 ，故2已知 求解：） 3已知，求解： 因为，所以 因此 4设，求解：因为 ，所以 因此 5已知，求，解：因为 ，所以，因此 ，二、研究函数的奇偶性的问题1奇函数2解：因为对任意的，都有定义，且所以是奇函数；3研究函数的奇偶性解：
4、因为对任意的，都存在，且所以是偶函数三、函数在一点的性质1求极限解：2指出函数的间断点及其类型答案：，跳跃型；，可去型；，第二类3已知函数在上连续，求的值解：由于 所以，；，根据连续性可知 解得 4讨论函数在处的连续性、可导性答案：连续，可导因为5设在可导，则满足 A （A） （B）（C） （D）四、有关无穷小比较的问题1若， ，求与的值 解：因为 ，所以2已知，则当时，下列函数中与是等价无穷小的是 C A B C D 解：由得3确定的值，使解： 因为，所以 ，因此又 ，所以 .4. 设，求解:五、有关导数概念的问题1求极限 解：2设在点某邻域内可导，且当时，已知，求极限解：3已知，求解：因为
5、 所以求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数和微分的问题12已知函数由确定，求曲线在处的切线方程与法线方程解：由 得，当 时，得 ，所以要求的切线与法线方程分别为3，研究函数单调性、求函数极值的问题1单调性、极值问题例如：求函数的单调区间和极值点解：，由得单增区间为，单减区间为和是极小值点，是极大值点2最值问题，3证明不等式问题，（1）证明：证明：因为 ，所以 .（2）证明：证明：令，则，所以当时，即 ，故（3）证明：证明：令，由得，由于，所以函数在区间上的最大、最小值分别为和，从而有 4证明等式问题例如：设函数在上可导、单增且，证明证明：令，则 ，又 ，所以 ，故 证法2：因为，所以注：
6、也可用定积分的几何意义证明5研究方程根的问题例如：讨论方程实根的情况解：令 ，由 得 ，从而是函数的单减区间，和是函数的单增区间，极大值为，极小值为由于 ，所以：当时，原方程只有一个实根，位于内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程有三个不同实根，分别位于，内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程只有一个实根，位于内八、研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题为何值时，点可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？解:由点在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得解得 由于 ，所以为函数的下凸区间，为函数的上凸区间，点是的拐点2. 设函数在上二阶连续可导，且，试判断是
7、否为的极值点？是否为的拐点？ 解：因为 ，所以在附近，从而，因此不是的拐点由于，所以单增，又，从而易知是的极小值点九、不定积分（凑法、分部积分法）1已知的一个原函数为，求，解：2解：3解：4解：或 5解：6解：因为 所以 十、定积分求值的问题1利用定积分性质（几何意义、奇偶性、周期函数等）2分段函数、绝对值函数、带有根号的函数求定积分例如：3已知一个积分值，求另一个积分值（1）已知，求的值解：（2）已知，求解：4已知一个积分方程，求一个积分值例如：已知，求，解：因为 ，所以，因此 ，十一、有关变限定积分函数的问题1导数运算（1）已知函数由方程确定，求解：因为 ，所以，因此 （2）求极限 解：（
8、3），求解：，（4）已知，求解：2研究奇偶性、单调性、凹凸性，求极值点和拐点例如：求函数的单调区间和极值点解：由 ，得当时，单调减小，当时，单调增加，是的一个极小值点；当时，单调减小，是的一个极大值点；当时，单调增加，是的一个极小值点十二、定积分的几何应用问题（面积与旋转体的体积）1切线、法线，2. 最大、最小面积（1）求由及在处的法线所围图形的面积及此图形绕轴旋转所得旋转体的体积解: 在处的法线方程为 ，此法线与轴的交点是 ，所以；（2）求曲线段的一条切线，使该切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积最小解：曲线在处的切线方程为，曲线在处的切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积为，由 ，得由于当时，；当时，所以最小，故所求切线方程为 文章来源：研究生考试网
