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1、平面向量的分解与向量的坐标运算# / 4题组一平面向量基本定理及其应用1.在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点O, E是线段 T TBD = b，贝U AFOD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若7C = a,1 1A. &a+ qb2 1B. a + 3b cga + 4b1 2Dpa + -b解析：如图所示，由 DEFBEA知=a + g(b- a)2 1=3a+ 3b.答案：B2.在 ABC 中，AB = c,7C = b.若点 D 满足 BD = 2DC，则 7D =fl 21A.b + 3c52B.5c3b2 1C.b3c1 2D3b+3c解析：如图所示，可知 7D = 7B
2、+1（ 7C2 2 1 =c+ 3(b c) = 3b + 3c.答案：A3.在?ABCD 中，AB = a, 解析：由aNAD = b, AN = 3 NC , / T T=3 NC 得 4 AN = 3 AC = 3(a + b),M为BC的中点，贝U MN13111AM = a + -b，所以 MN = 4(a + b)(a+b) = _a+4b.答案：1 1 -4a+4b4.在三角形ABC中，已知题组二平面向量的坐标运算A(2,3), B(8, 4)，点 G(2 , 1)在中线 AD 上，且7G=2GD，则点C的坐标是A . ( 4,2)B . ( 4, 2)C . (4, - 2)D
3、. (4,2)8+ x解析：设C(x, y)，则D( 2 ,-4 + y4 + x - 2+ y2)，再由 AG = 2 GD 得(0, - 4) = 2( 2 ,2), 4 + x= 0, - 2+ y=-4，即 C(- 4, 2).答案：B5 .已知A(7,1)、B(1,4),直线y = 2 ax与线段 AB交于C ,且AC = 2 CB ,则实数a等于D.|解析：设C(x, y),=(x-7, y- 1),CB = (1 - x,4 - y),AC=2 Cbx - 7= 2(1 xx= 31 丿，解得 . C(3,3).y -1 = 2 4-yy= 31又tC在直线y= ax上, 3=
4、|a 3, a= 2.答案：A6.已知集合 M = a|a= (2t + 1,- 2-2t), t R, N= b|b = (3t-2,6t+ 1), t R，贝U M n N=解析：设 m (M n N),贝U m= (2tj+ 1, - 2- 2t” ,又 m= (3t2 2,6t2 + 1),2t1 + 1= 3t2 2,2 2t = 6t2 + 1,解得t1=-2t2= 0.故 m= (-2,1),即 M n N = ( - 2,1).答案：( - 2,1)题组三平仃(共线)向量的坐标表示7.(2009北京高考)已知向量a、b不共线，c= ka + b(k R), d= a-b.如果c
5、/ d，那么()A . k= 1且c与d同向B . k= 1且c与d反向C. k= 1且c与d同向D . k= 1且c与d反向解析：不妨设 a= (1,0), b= (0,1).依题意 d= a b= (1, 1)，又 c= ka+ b= (k,1),t c / d, 1? ( 1) k= 0, - k= 1,又 k=- 1 时，c= (- 1,1)=- d, c与 d 反向.答案：D8 .已知平面向量a = (x,2), b = ( 2 , y),且2a + 3b = ( 4 , 8),则向量a与向量b的关系是( )A .平行且方向相同B .平行且方向相反C.垂直D .既不平行也不垂直解析：
6、由 2a + 3b = ( 4, 8)得2x 6= 4x = 14+ 3y= 8y = 4 a = (1,2), b = ( 2, 4), b= 2a.向量a与b平行且方向相反.答案：B9.已知 a= (3,2), b = ( 1,2), c= (4,1).(1) 求满足a= xb+ yc的实数x, y的值；(2) 若(a + kc) / (2b a)，求实数 k 的值.解：(1) / a = xb+ yc, (3,2) = x( 1,2)+ y(4,1) = ( x+ 4y2x+ y).r = 5 -x+ 4y = 3,解得 *9，2x+ y= 2，y= |./ (a+ kc)/ (2b a
7、),且 a + kc= (3,2) + k(4,1) = (3 + 4k,2 + k),2b a= 2( 1,2) (3,2) = ( 5,2),16 2(3 + 4k) ( 5)(2 + k)= 0,解得 k=畐.# / 410平面直角坐标系中,题组四平面向量基本定理及坐标表示的综合应用O为坐标原点，已知两点A(3,1), B( 1,3)，若点C(x, y)满足a R,且a+ = 1，则x, y满足的关系式为()OC = .OA +3OB，其中A . 3x+ 2y11 = 0B . (x 1)2+ (y1)2= 5C. 2x y= 0D . x+ 2y 5= 0解析：由题意可得：(x, y)
8、= a(3,1) + N 1,3)x= 3 a N y= a+ 3 N3x+ ya= 10 ,1 c 3y xN= 10 , 3x+ y 丄103y x10=1, x+ 2y = 5.答案：Da, b, c, 若 p = (a + c, b)与 q= (b a,c a)是共线向量,OP = OA +1 AB，试问:(1)当t为何值时，P在x轴上？ P在y轴上?P在第三象限?ABC的三个内角，A, B, C所对的边长分别为则角C=.解析：/ p/ q, (a+ c)(c a) b(b a)= 0,2 2 2 a + b c = ab.-cosC = =答案：6012 .已知点 0(0,0), A
9、(1,2), B(4,5)及# / 4则求出 t的值；若不能，请说明四边形OABP是否能成为平行四边形？若能, 理由.AB = (3,3).解：/ 0(0,0), A(1,2), B(4,5), OA = (1,2),T T TOP = OA + t AB = (1 + 3t,2 + 3t),P(1 + 3t,2 + 3t),P在x轴上，则2 + 3t = 0,所以t= 2；3P在y轴上，则1 + 3t = 0,所以t= 3；3P在第三象限，则1 + 3t02 + 3t0 2所以t 刍/ OA = (1,2),H 4 -4PB = PO + OB = (3 3t,3 3t).若OABP是平行四边形，则 OA = PB ,3 3t = 1即，而此方程组无解，3 3t = 2故四边形OABP不可能是平行四边形.
