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1、姓名： 学号：摘要曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向 向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。半径小的圆的弯曲得厉害。曲率的弯曲程度 在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。曲线曲率的应用广泛，本文就 此简单介绍一下曲线曲率。关键词：空间曲线 ；平面曲线 ；曲线曲率 ；全曲率 ；相对曲率1.空间曲线的曲率设给定的空间曲线r: r = r( S)是c 3类曲线，其中s为曲线的自然参数，在其上赋予 Frenet标架r(s);d(s), P(s),f (s)I则参数s的变化导致标架基本向量的变化，而标架的 变化刻画出曲线r在一点邻近的形状。d = r是oT(s
2、)对s的旋转速度，它刻画出r在s点邻近的弯曲程度。对于曲线r: r = r( s)，称k (s)=r( s)为曲线r在s点的曲率，当k (s)丰o时，其倒数 p (s)= 称为曲线r在s点的曲率半径。k (s)注：曲率k (s)为d对s的旋转速度，并且d (s) = k (s) P (s)。事实上，&=r=r =(r p = kp.r定理：空间曲线r: r = r( s)为直线的充分必要条件是其曲率k (s)三o.证明：若r为直线r (s) = sa + b，反之，若ks) = r(s)三0，则r(s)三o其中a和b都是常量，并且问=1，则k(s) = r(s) = 0 ；，两次积分后有r(s
3、) = sa + b，所以该曲线是直线。设曲线r的一般参数表示为r = r (t)，则有dr ds r dsds、r d 2 sr(t) = r， r(t) = r()2 + rds dt dtdt dt 2于是r r r dsr x r = r x dtds、 r d 2 sr ( )2 + rdt dt 2r ds、=r x r ()3dtsin因为r讦亠I ds=1, r 丄 r,=dt，所以r x r = k r3。由此得到曲率的一般参数表达式k=2.1.1)设给定空间曲线厂，在其上一点p(s)的主法向量的正侧取线段pc，使得pc的长度1为p = 1，以点C为圆心，以p为半径在点p(s
4、)的密切平面上确定一个圆，则这个圆称 k为曲线r在点p(s)的曲率圆(密切圆)，曲率圆的圆心称为曲率中心，曲率圆的半径称 为曲率半径。例 1.试求圆柱螺线 r = a cos t, a sin t,bt (sv t v+s,a 0,b 丰 0)， a、b 均为常数的曲率。解：因为r =cos t, a sin t,bt，所以r = a sin t,a cos t,0r x r = pa2b2 + a4r = a sin t, a cos t, br = C a cos t，一a sin t,0,因此=fa 2 + b 2, r x r - = hb sin t，ab cos t, a 2?将以
5、上各式代入曲率的公式，可得k=所以圆柱螺线的曲率是常数。2.空间曲线的全曲率本节记二阶连续可微的弧长s参数化闭曲线为c : r: b, it e 3s I r (s)， r(n)(s +1) = r(n)(s)， n = 0,1,2;记C的全长为1，全曲率K =k(s)ds ；记C的切线像为 cC *: r * 二 T: Io, lT E 3s IT (s)总记C*的弧长微元ds* = k(s)ds。显然，C*当k(s) 0时以s为正则参数，而且此时连续 可微正则闭曲线C*的全长为+l* = b k(s)ds = K 0(2.2.1)C直接观察可知，当C为圆周时/* = K = 2兀。对一般的
6、闭曲线C进行观察，直观判断 其“弯曲程度总和”应不低于圆周，从而可以猜断成立l*2兀。C*的长度还可以通过 观察其与单位球面的任一大圆弧的交点数目而做出猜测；事实上，对任一给定方向，以 之法向必至少存在C的两张切平面(允许重合但注意切点的不同)，故C*与单位球面上 的任一大圆弧的相交次数至少为2.定理：E3中的二阶连续可微闭曲线C的全曲率K 2“，且等号当且仅当C为平面 上的二阶连续可微凸闭曲线时成立。引理1.若闭曲线C的连续的切线像C*落在一闭半球B上，则C*必落在B的边界大 圆上，且此时C必为连续可微的平面闭曲线。证明：不妨令B为以p为北极的北闭半球面，则C*落在B上即为r*- p 0。故
7、有0 2“，且等号当且仅当C为平面二阶连续可微凸闭曲线时成立。引理2.若二阶连续可微闭曲线C的全曲率K2兀，则其切线像C*落在某一闭半球面上。证明：考虑C*全长的二等分点A:T(0)和D:T(s )，其中s e (0,l)使Jsok(s)ds二K，o o 0 2这由k是非负连续函数可知是合理的。记C*上A和D之间的正向弧段分别为 AD: T: b,s It E3和DA: T: L ,lIt e3，则两弧段的相应长度为ool * Kl (AD) = l ( Da) = = l (AE)+1 (ED) l (AE) +1(fa)=兀从而只能有AE与AE重合且ED与ED重合，此时弧AD落在b上当弧A
8、D与赤道没有公共点时，由弧AD连续性可知其落在B上。同理可证弧DA无论是否与赤道有公共点，也只能落在B上。故在此情形下C *落在B上。综合以上两种情形，得证。定理：设C是E 3中的一条打结的二阶连续可微简单闭曲线，则C的全曲率不小于43. 平面曲线的曲率考察上图中由参数方程X = X(t), t ela,卩给出的光滑曲线C，我们看到y = y(t)弧段PQ与QR的长度相差不多，而其弯曲程度却很不一样。这反应为当动点沿 曲线C从点P移至Q时，切线转过的角度Aa比动点q移至r时，切线转过的角 度A0要大得多1。设a (t)表示曲线在点P(x(t), y(t)处切线的倾角，Aa =a(t + At)
9、-a(t)表示动 点由P曲线移至Q(x(t + At), y(t + At)时切线倾角的增量。若PQ之长为As，J则称Aa为弧段PQ的平均曲率，如果存在有限极限k = lim Aav Aa=limdaAsAt tO AsAs tO Asds则称此极限k为曲线C在点P处的曲率。由于假设C为光滑曲线，故总有a (t) = arctan或 a (t) = arc cot 乂x(t)y(t)又若x(t)与y(t)二阶可导，则由弧微分ds = v;ds2 + dy2可得da a(t) x(t)y(t)- x(t)y(t)dss (t)2.3.1.1)所以曲率计算公式为若曲线由y二f (x)表示，则相应的
10、曲率公式为yk = f(2.3.1.2)1 + y2 32例1.求椭圆P二aC0St , (0t b0时，在t = 0、“（长轴端点）处曲率最大，而在t = |、芋（短轴端点）处曲率最小，且k =, k =-max b2min a 2若a=b=r，椭圆成为圆时，显然有k=R，即在圆上各点处的曲率相同, 其值为半径的倒数。例2.抛物线y = ax2 + bx + c上哪一点的曲率最大?解：由于y= 2ax + b , y = 2a，因此由（2.3.2）式得椭圆上任意点处的 曲率为(1 + (2ax + b)2)32kmax=|2a|，这时 2ax + b = 0, x =-b，即在点- 2a处曲
11、率最大,因为 y = a( x 2 + 竺 + ) = a (x + )a a2 a丿2 +竺一冬），所以这一点恰是抛物线的顶点。2a4a 2例 3.如果光滑曲线以极坐标形式给出，试导出它的曲率计算公式。解：设曲线的极坐标方程为P = P(6)，相应的参数方程是F =p?)co弓y = P (6 )sin 6x二 p (6 )cos 6 - p (6 )sin 6 y = p (6 )sin 6 + p (6 )cos 6代入参、x” = p (6 )cos 6 - 2 p (6 )sin 6 - p (6 )cos 6 y” = p (6 )sin 6 + 2 p (6 )cos 6 - p (6 )sin 6x y 一 x y一一数方程下的曲率公式k= 丁中并化简，得极坐标方程表示下的曲率公式k2 + y 2 27 _|p2(6) + 2p2(6)-p(6)p(6)| k _3(p 2(6 ) +P 2(6 )2在研究许多问题时，在曲线 r : y _ f (x)的某一点M (x ,y )附近用一段圆弧 o o oy _p (x)去近似地代替它会带来很多好处，显然代替时，有如下要求：(1) 圆弧与曲线都通过点(x , y )，即申(x )
