排列组合典型题汇总

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1、排列组合典型题汇总排列、组合题型与解题方法撰写人：胡清涛一：可重复排列求幂法1、有 4 名同学报名参加，数学、物理、化学三科竞赛，每人限 报一科，有多少种不同的报名方法？解析：本题题意是让4 同学选择3个科目，人是主动的，科目是 被选的是被动的，于是完成这件事，需要4 个步骤第一步：同学甲从 3 个科目中选择一科有 3 种选择。 第二步： 同学乙从3个科目中选择一科有3 种选择。 第三步：同学丙从3 个 科目中选择一科有3 种选择。 第四步：同学丁从3个科目中选择一 科有 3 种选择。完成这件事共有3?3?3?3?3 种方法2、有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，多少种不 同的结果

2、？ 解析：每科的冠军都产生于这4 名同学中，所以3科竞 赛的冠军是主动的，而 4 名同学是被选的，是被动的。于是完成这件事，分 3 个步骤 第一步：数学科目的冠军是从4 名同学中选1 名有4 种选择 第二步： 物理科目的冠军是从4名同学中选1名有4 种选择 第三步：化学科 目的冠军是从4 名同学中选1 名有 4 种选择完成这件事共有4?4?4?4 种方法 解决这种问题的关键在于分清哪个是主动哪个是被动，再按照分 步计数原理的方法将每个步骤中的方法数相乘，从而得到所求结果。3、将 3 封不同的信投入4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？4、把6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？

3、75、8 名同学争夺3 项冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 8*、一个六位的密码，每一位都是由0 到9 十个数字中的一个 所构成，一共能组成多个密码？ 106 二：多排问题单排法12、6 个人排成前后两排，每排3 个元素，有多少种不同的排法？ 解析：6个人站成两排每排三个，可以看做是将6个人排成一列， 再从中间断成两段，分为前后两排，因此：6 总的排法数为 A6?720 种3 另解：第一步排列前排：从 6 个人中选出 3 个人排列，即 A63 第二步排列后排：剩余的 3 个人排列，即 A333总的排法数为A6?A3?720种13、6 个人排成前后两排，前排2 人，后排4人，有多少种不同 的排法

4、？2 解析：第一步前排：从 6 个人中选出 2 个人排列，即 A6 4 第 二步后排：剩余的4人排列，即A4246 总 的 排 法 数 为 A6 相 当 于 6 人 排 成 一 直 排. ?A4?6?5?4?3?2?1?A614、把 15人分成前后三排，每排 5 人，有多少种不同的排法？解 析 ： 第 一 步 前 排 ：A15?15?14?13?12?11 第 二 步 中 排 ：A10?10?9?8?7?65 第三步后排： A5?5?4?3?2?155 总排法数为 A15?A10?A5?15?14?3?2?1?A15 种15、把15 人分成前、中、后三排，前排4 人，中排 5 人，后排6 人，

5、有*多少种不同的排法？4 解析： 第一步前排： A15?15?14?13?12 5 第二步中排：A11?11?10?9?8?7 6 第三步后排： A6?6?5?4?3?2?1*总排法数为 A15?A11?A6?15?14?3?2?1?A15 种以上问题都是求“将 n 个元素排成若干排”的问题，有上面各题的 难 得出这样的结论：“ 无论排成几排，无论每排中元素有几个，都可 以当做 将这 n 个不同的元素排成一个直排来看待”16、8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，有多少种 不同排法？8 A817、8 个不同的元素排成前后两排，每排4 个元素，其中某2 个 元素要排在前排，某 1 个元

6、素排在后排，有多少种不同排法？ 解析： 先按照排成一排来看待，则相当于有八个位置。如图：左边 4 个位置相当于前排,右边 4 个位置相当于后排，先从前排 的 4 个位置2 中选择两个位置排列这两个人，即 A4 ；再从右边的 4 个位置 选择一个位置15排列另外1人，即A4；其余的5个人随便排列，即 A5215总的排法数为A4 A4A5三、相同元素的分配问题隔板法18、10 个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额， 有多少种不同分配方案？解析：本题题意就是将10 个名额，分给7个班级，每班都能分 到名额。由于名额与名额之间无任何差别。因此本题即是10 个相同 的元素分成 7 堆。具体操

7、作如下：。这 10 个小圆圈就相当于 10 个相同的元素，可以想象将木板插 在这 10 个元素之间空当中，就可以将这10 个元素分成若干份。本题中要求分成7 分，所以只需要6块木板就可以了， 10个元 素之间形成了9 个空，所以只需将这6 块木板插到这9个空中即可。 一种木板的插入方式就对应着一种名额的分配方式。因此有多少种插 法就有多少种分配方法。于是：3 不同分配方案共有 C9 种。 能够用“隔板法“解决的拍列组合问题是：“对 n 个相同的元素分 成 m 份” 。这里要特别注意的是:“所研究的元素必须是相同的。”19、某校要组建一个 12 人的篮球队，这 12 个人分别由 8 个班 的学生

8、组成，7 每班至少一名，共有多少种选派方案？ C1120、6 名同学带 13 瓶百事去春游，每人至少带一瓶，有多少种 不同的带法？5 C* 、方程 x?y?z?8 正整数解有多少组？ C722、把20 个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中， 要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？解析：由题意可知，1 号盒里至少放 1 个球；2 号盒里至少放 2 个球；3 号盒里至少放 3 个球。要保证上述条件只需先将 1 号盒里放 0 个 球； 2 号盒里放 1 个球；3 号盒里放 2 个球，其余的17 个球在进行 隔板，即:将17个球用2 块木板隔成3分。2 共有 C16 种

9、不同的放法。23、25 个相同的小球，分别投到编号为1、2、3、4的四个盒子 中，要求3 每个盒子中的球数不少于盒子的编号数，有多少种不同的方法？ C19四、相邻问题捆绑法24、A、B、C、D、E 五人站成一排，其中 A、B 必须相邻，有多 少种不同的排法？解析：既然 A、B 必须相邻，则把它们捆绑到一起看成是一个元素，这样一来五个人可以看成是4个元素排列，但是在捆绑A、B的时候，二者也有顺序，所以在捆绑的同时也要把A、B进行排列。24 总的排法数为 A2A425、A、B、C、D、E五人站成一排，其中A、B必须相邻，且A 必须在 B 的左边，有多少种不同的排法？ 解析：分析方法同上题相同，唯一

10、不同的是在本题中，捆绑 A、B的同时不需要对A、B进行排列，因为A必须在B的左边，这实际 上已经确定了 A、B的顺序，所以本题直接将5个人看成是4个不同 的元素排列。4 总的排法数为 A4 在解决两个或多个元素相邻问题时我们选择“捆绑法”，在捆绑的 时候 要注意， “被捆绑的的元素与元素之间是否有顺序，如果有则需 要在捆 绑的同时，先将元素排列。 ”26、3名男生5名女生站成一排， 3名男生必须站在一起，有多 少种不同36 的排法 A3A627、4 名男生和 3 名女生并坐在一起，男生相邻，女生也相邻， 共有多少342 种不同的坐法？ A3A4A2五、不相邻问题插空法28、七人并排站成一行，如

11、果甲乙两个必须不相邻，有多少种不 同的排法？ 解析：由于甲乙两人不相邻，除去甲乙还有 5 个人，先 将这 5 个人排列，此时 5 个人之间包括两端共有 6 个空位，将甲乙两个元素分别插 入到这 6 个空中即可。52 总排法数为 A5A629、4 名男生， 3 名女生，站成一排， 3 名女生互不相邻，有多 少种不同排法？解析：仿照上题，3 名女生不相邻，则先排列4名男生，4名男 生之间包括两端共有5个空位，再将3 名女生分别插入到这5个空位中。43 总排法数为 A4A5 在解决两个或多个元素不相邻问题时我们选择“插空法”，需要注 意的是：“在插空时是用不相邻的元素去插其他元素的空”30、4 名男

12、生，3 名女生，站成一排，男女生相间，有多少种不 同排法？ 解析：“男女生相间”即是“男生不相邻女生也不相邻”4 先排 4 个男生 A4 ；再把 3 个女生插空，但此时的插空同上题 不同的是，女生能可以选择的空位只能是中间的 3 个空，不能选择两端 的两个空，因为如果选择了两端的两个空位，必然会使其中的两名男3 生相邻，即 A3 。43 总的排法数为 A4A3 本题中应当注意的是，“男生女生相间”的意思是“男生不相邻且女 生也不相邻”，此时插空时要注意不能选择两端的两个空位。31、4 名男生，4 名女生，站成一排，男女生相间，有多少种不 同排法？解析：本题也是男女生相间问题，但与上题不同的是：

13、男生人数 与女生人数相等，则先把男生和女生分别排列，再插空。如下图：男男男男女女女女或女女女女男男男44 总的排法数为 2A4A4如果男生女生人数相同时，要求那女相间，要注意有两种不同的 情况，是男生打头，二是女生打头。31、用1、2、3、4、5 五个数字组成没有重复数字的五位数，且1、2不相邻，这样的五位数共有多少个？32 A3A432、班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和1 个 曲艺节目 的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，有多少种不同排 法？52 A5A633、在马路上有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9 的九盏路灯， 为了节约用电需要关掉其中的3 盏路灯，但是不能

14、关掉相邻的两盏或 三盏，也不能关掉两端的两盏，共有多少种不同的关灯方法？解析：关掉其中的三盏，则还有六盏灯亮着，那么我们只需用三 盏关掉的路灯，去插亮着的六盏灯的空，由于要求不能关掉两端的两盏， 所以，只能选择六盏亮着的路灯之间的5 个空，另外我们要知道，关 掉的路灯之间没有区别，亮着的路灯之间也没有区别，所以灯与灯之 间没有顺序，于是：3 关灯的方法共有 C534、3个人坐在一排8 把椅子上，若每个人的两边都有空位，共 有多少种不同的坐法？ 解析：解法1、先将3 个人（各带一把椅子）全排 列有A3 3, O*O*O*O，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅 子再去插空有 A4 种，所以每个1

15、3 人左右两边都空位的排法有 A14A3=24 种.解法 2：先拿出 5 个椅子排成一排，在 5 个椅子中间出现 4 个空，*O*O*O*O*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34=24 种.六：捆绑法和插空法的综合问题35、4名男生和3 名女生站成一排，要求3 名女生中有 2名站在一起，有多少种不同的站法？422 A4A3A536、停车场划出一排12 个停车位置，今有8 辆车需要停放.要求 空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？81 A8A937、停车场划出一排12 个停车位置，今有8 辆车需要停放.要求 4 个空车位中的 3 个空车位连在一起，不同的停车方法有多少种？ 832A8C4A938、某人射击8 枪，命中4枪，4 枪命中恰好有3 枪连在一起的 情形有多少种？2 A539、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国 画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端 那么共多少种陈列方式54A2A25A4 七：特殊位置、特殊元素优先法40、由 1,2,3,4,5，6 可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 解析：我