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1、第十章线性代数简介本章知识结构导图数学家的故事：阿瑟凯利简介阿瑟凯利(Arthur Cayley,18211885)是英国数学家，生于伦敦里士满 (Richmond)，卒于剑桥。17岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几 年内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间， 他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特(Sylvester)o 1863年应邀返回剑桥大学任 数学教授。他得到牛津大学、都伯林大学和莱顿大学的名誉学位0859年当选为伦敦皇 家学会会员。凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人。在布尔1841年的工作的影响下，他 首创代数不变式的符
2、号表示法，给代数形式以几何解释，然后再用代数观点去研究几何学。他第一次引入 n 维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先 引入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，被公认为矩阵论的奠基人。他开始 将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯 利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列 式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858 年开始，发表了矩阵论 的研究报告等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的
3、运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。 凯利还提出了凯利-哈密尔顿定理，并验证了 3x3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿 证明了 4x4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯(F.G.Frohenius)于1898年 给出的。本章小结本章主要掌握行列式、矩阵的概念及运算，逆矩阵、矩阵方程、线性方程组的求解。一、行列式的定义与性质1一阶行列式：|a 1 = a11 11a二阶行列式：iia21a12 = a a 一 a aa 11 2212 2122aaa111213aaa212223aaa313233a(1)1+1 M三阶行列式：11a11aa2223aa3
4、233_ a12aa2123aa3133+ a13a a21a3122 a M _ a M + a M a3211 11 12 12 13 13 ；其中 M为ij+ a (一1 十 2 M+ a (一1十3 M a A + a A + a A1112121313111112121313余子式， A 为代数余子式。ij2. 性质：（1）任何行列式与它的转置行列式相等,即 D=DT。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。（3）如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。（4）行列式某一行（列）的各元素乘以同一个数,等于这个数乘以该行列式。（5）若行列式有两行（列）的元素对应成比例，则行列式为0。
5、（6）如果某一行（列）元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。（7）行列式的任一行（列）的所有元素乘以同一个数，再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。（8）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。（9）行列式中的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0。3. 计算方法：（1）二阶、三阶行列式可以根据定义直接计算（2）选择0 元素较多的行（列），按该行（列）展开计算；（3）利用行列式的性质，把某行（列）化为只有一个非零元素，按该行（列）展开计算（4）利用行列式的性质，化为三角形行列式再进行计算。二、矩阵及其运算1. 同型
6、矩阵的线性运算规律：A + B B + A ; (A + B) + C A + (B + C) ; A + O A ; A + (_A) O ;（k +1）A kA + lA ; k（A + B） kA + kB , k 丰 0, l 丰 0。2. 矩阵乘法的运算规律：（AB）C A（BC ） ;A（B + C ） AB + AC,（B + C ） A BA + CA ; X AB （X A）B = A （九 B）;AE EA= A 。注意：（1） AB，只有当A的列数等于B的行数时，该乘积才有意义；（2）矩阵乘法不满足交换律；（3） 矩阵乘法不满足消去律。3. 矩阵转置运算规律：（At 丄A
7、 ； （A+ B） At + Bt ； （Xa）t Xat ； （AB） BtAt。三、逆矩阵1. 定义：若AB = E，则A、B互为逆矩阵，记a_1 B，B_1 A。2. 性质：若A可逆，则a_1可逆，且CaJ1 A。若A可逆，0，则kA可逆，且(kA)-i =丄a1。 k(3)若矩阵A与B都可逆，则AB可逆，且(ab)-1 = b-1 A-i。AAA1121n1若A可逆，则AT可逆，且(aJ1 =(A-i)T。4解矩阵方程： AX = C n X = A-1C ; (2) XB = C n X = CB-1 ; (3) AXB = C n X = A-1CB-1 ; ax = b,则(a
8、b )行初等变换 Ce x )。四、矩阵的初等变换及矩阵的秩1. 阶梯形矩阵：(1)如果有零行的话，零行位于矩阵下方；(2)各个非零行的第一个非零元素的列标随 着行标的递增而严格增大。注：一个矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但阶梯形矩阵中所含非零行的行数是唯一的。2. 行最简形矩阵：每一非零行的第一个非零元素都是1，并且这些 1 所在列其余元素都是0 。3. 矩阵的秩：矩阵A的阶梯形矩阵中，其非零行行数称为矩阵A的秩，记为秩A或r(A)。4. 求矩阵秩的方法：用行初等变换把任意矩阵A化为阶梯形，然后判断非零行的行数。五、线性方程组1. 方程组有解时称方程组相容；方程组无解时称方程组不相容。2. n
9、元线性方程组的求解：(1) 根据方程组写出增广矩阵；(2) 用行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵；(3) 判断方程组是否相容(有解)，在方程组相容时，把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵；(4) 根据行最简形矩阵直接写出原方程组的解。3. n元线性方程组解的判断：(1) r(A)二r时，方程组有解：r(A)二r()=未知量个数时，方程组有唯一解；r(A)二r(A) n(n为未知量个数)时，方程组有无穷多个解，其中自由未知量个数等于n-r(A)。r(A)h r时，方程组无解。综合练习 一、判断题：1. 行列式 |-3 = 3。()2零矩阵一定是方阵。()3. 若 AB = O，则 A = O 或 B =
10、 O。()4. 若乘积AB、BA存在，则AB = BA。()5- At = A o ()6.若A为n阶方阵，且r(A)= n，则A的行最简形矩阵为单位矩阵。()7.若 AX = C，则 x = c o ()A二、填空题：aaa4a2a 3aa111213111112131如果D aaa=1,则 D 4a2a 3aa212223121212223aaa4a2a 3aa31323331313233k 122. 鼻0的充分必要条件是。2 k -1/ 2、3已知 A = (3 1 0), B 40 ,则 AB =。35 J2、4已知 A (3 1 0), B 1 ，则 AB ； BA=o,2丿5. 矩
11、阵 A 与 B 能进行乘积运算 AB 的充要条件是。6. 非齐次线性方程组AX B有解的充分必要条件是。21(121224120、07. 已知 A 42， B 530611,84 , 03001丿则 r(A) ； r(B) 。三、选择题：1设A为3x 2矩阵，B为2x3矩阵，则下列运算中()可以进行。A. ABB. ABT C. A+ BD. BAT2设A为3 x 4矩阵，B为5 x 2矩阵，若矩阵ACB T有意义，则矩阵C为()型。3.A. 3x 2 B. 4x2C. 3x5 D. 4x 5 设 A,B 均为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是()。A. AB丄AtBt B.(AB)t BtAt
12、 C. (aBt A-1(BT D.(ABt 6.7.(10b、若A =a03是对称矩阵，则()。;231丿A. a =2,b=3B.a=2,b=1C. a =0,b(1-20、矩阵 A=1-1-2的秩为()。0-24丿丿A.3 B.2C.1 D. 04.5.设 A 为四阶矩阵，若 r(A)= 3，则()。= 2 D. a = 0, b = 0A. A可逆B. A的阶梯形矩阵有一个零行C. A 定有一个零行D.A至少有一个零行若A为可逆矩阵，且A+ AB = E，则a1 =()。A.E-ABB.E-BC.E+ BD.(E-AB)t四、计算题：12212324134 ,2345221334141
13、21.计算行列式(1)4123191032-8198372994-5405，(4)-321-52. (1)判断矩阵A二是否可逆？如果可逆，求A-1 。(2)判断矩阵A二3.解矩阵方程AX = B，11-1，是否可逆？如果可逆，求A-1。1 -10、/1 1、-231,B=2 0,2 -1 2,3 5丿其中A =OXA二B，其中a =/ 0-2、300-2-1、04丿-2411丿4. 求下列线性方程组的一般解：2 x x + 4 x = 1123(1) 1 4 x + 2 x + 5 x = 4，- x =1412x + x = 313(2)1x + 3 x12x + 2 x + 3 x - 3 x = 412342 x + 5 x + 8 x = 51233 x + 7 x + 11x - 3 x = 912
