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1、大规模传染病的疫情控制模型分析摘要：大规模传染性疾病的突然爆发与迅速蔓延对人类的生存造成巨大的威胁。2009 年始 于美洲的H1N1甲型流感又开始了在世界范围内的大规模传播，因此对于H1N1甲型流感疫 情的防控和发展情况进行预测显得尤为重要。本文利用数学模型来解决这个问题。问题一，根据微分方程的原理，建立一个传统的传染病模型，此模型为近似于自然传播 时的 S-I-R 模型。对模型进行求解，可得到传染病在自然传播下的预测函数。结论是：在爆 发初期还未进行有效的防控措施时，确诊人数快速增加。问题二，我们是在问题一的基础上，考虑政府对疫情采取防控措施的情况下，传染病的 传播和发展趋势。对模型的求解结
2、果进行分析和检验可得：越早的采取隔离措施、隔离强度 越强对疫情的控制越有利，且当P 0.7时，与中国患病人数增长曲线拟合的较好，因此可 知中国政府对疫情控制力度应该是左右。关键字：H1N1；甲型流感；微分方程；S-I-R模型引言甲型 H1N1 流感病毒：甲型 H1N1 流感病毒是 A 型流感病毒，携带有 H1N1 甲型猪流感病毒，包含有北美和欧亚猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的核 糖核酸（RNA）基因片断，同时拥有亚洲猪流感和非洲猪流感病毒特征。易感类：（S类）指虽未得病但与已病者接触后容易受到感染的一类人。感染类：（ I 类）指感染上某种病原体的一类人。移出类：（R类）指因患病而被隔离或
3、感染死亡或因痊愈而具有免疫力的一 类人，他们这时既非感染者，也非易感染者，实际上已经退出了我们所考虑的传 染病系统。在这里我们用治愈者（R）和死亡者（D）代替。1、问题的提出2002 年爆发的非典疫情给全世界，尤其是中国留下了永远无法磨灭的记忆。 大规模传染性疾病的突然爆发与迅速蔓延对人类的生存造成了巨大的威胁。2009 年始于美洲的H1N1甲型流感又开始了在全世界范围内的大规模传播，截至2009 年 6 月 11 日，世界卫生组织宣布全球共报告患者人数共 28774人，遍布 74 个国 家和地区。同日，世界卫生组织还召开了紧急专家会议，决定将甲型H1N1流感 大流行警戒级别提升至最高的第六级
4、，意味着宣布“甲流”进入全球大流行阶段。面对来势汹汹的疫情，中国政府汲取了 2002年非典疫情控制的经验和教训。 疫情一开始就采取了坚决有效的防控措施，对患者和与患者密切接触的人员一经 发现，立刻进行隔离，直至排除发病可能。这些措施对疫情的控制起到了明显的 效果。截至2009年6月14日，中国内地共发现196 例患者，尚无一个死亡病例。而一些美洲国家患者人数上升速度却较快。现建立数学模型完成以下问题：（1）搜集疫情爆发初期中国的H1N1疫情统计数据，建立数学模型并对疫情发展情况进行预测；（2）建立数学模型来刻画有效的防控措施对疫情传播的作用，并结合预报结果分析、比较采取防控措施力度的大小对疫情
5、的影响。2、模型假设（1） H1N1 甲型流感可由猪传染给人，也可在人群间传播。本模型仅考虑人群间的传播。（2）认为疫情持续期间内系统总人数不变，同时不考虑此期间的出生人口 和自然死亡人口。（3）H1N1甲型流感的潜伏期为1至7天左右，本模型取7天。（ 4）将所考查人群分为易感类、感染类、治愈者、死亡者四类。（5）假设已治愈的患者二度感染的概率为 0，即患者具有免疫能力，不考 虑其再感染。（ 6）假设所有患者均为“他人输入型”患者，即不考虑人群个体自身发病（7）假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。（8）不考虑隐性H1N1甲型流感患者，即只要感染上H1N1甲型流感病毒的 患者最终都会表现出症
6、状。3、符号说明符号I(t)含义现有感病者人数&S(t) Y(t)R(t) D(t) k1k2 r(t)易感者人数 累计感病者人数治愈人数死亡人数 病人的死亡率 病人的治愈率 未被隔离的病人平均每人每天传染的人数p隔离强度ta,b时间 常量参数反映r (t)的变化快慢4、问题分析对问题一：该问题是对一个继SARS后又一个比较典型的传染病模型的研究。 由于H1N1的传播受交通、某地区的人流量、社会经济、文化等因素的影响，而 影响疫情发展趋势的最直接的因素是：感染者的数量、传播形式以及病毒本身的 传播能力、对感染者的隔离强度、入院时间等，我们在建立模型时不可能也没有 必要考虑所有因素，只需抓住关键
7、因素，进行合理的假设并建立模型。首先我们把人群分为四类：易感人群、感病人群、治愈人群和死亡人群，分 别用S(t)、I(t)、R(t)和D(t)表示。然后建立一个传统的传染病模型，此模型为 近似于自然传播时的 S-I-R 模型， 即如下图所示：对问题二：随着感病人群数量的增加，人们的防范意识逐渐增强，促使日传 染率减小。引起人们防范措施增强的原因主要有两方面：(1) 来自于因对疫情的恐慌心理，而迫使人们加强自身防范意识；(2) 来自卫生部门政策、法律法规的颁布等，而加强了防范措施意识。 以上两个方面又都受疫情严重程度的影响，关系如图 2 所示：这些因素都可以使r(t)减小，但主要体现在卫生部门的
8、隔离强度p和采取隔 离措施的时间t上。即模型二是在模型一的基础上考虑隔离强度p和时间t的因 素，建立微分方程模型。图 2 疫情的影响关系图5、模型建立与求解问题一模型建立假设产生第一例H1N1甲型流感病人之后的卜时间内是近似于自由传播的 时段，隔离强度为0每个病人每天感染人数r(t)为一常数。我们考虑自然传播下的几类人群的变化情况，并通过分析各类人群的状态转 化关系，建立微分方程，得到 S-I-R 模型。现有感病人数的变化是由At时间段内的新增感病者、死亡人数和痊愈人数 决定的：现有感病人数的变化=新增感病人数一(死亡人数+痊愈人数)。#r为每个未被隔离的病人每天感染的人数，k和k分别为治愈率
9、和死亡率。21则有新增感病人数为现有感病者在单位时间(天)内的感染人数：新增感病人数=现有感病人数x感病者每人在At时间内的感染人数=I (t) x r x At新增死亡人数=死亡率X现有感病人数xAt= k1 x I (t ) x At新增痊愈人数=痊愈率X现有感病人数xAt= k x I (t ) x At2于是可得：(1)现有感病人数的变化为：I (t + At) 一 I (t) = I (t) x r x At 一 (k + k )I (t) x At12I (t + At) I (t)=r x I (t) (k + k ) x I (t)At1 2$当 At T 0 时，dIt) =
10、 rI (t) (k + k )I (t)dt12(2)死亡人数的变化=新增死亡人数，则有：D(t + At) D(t) = k I(t)At1D(t + At) - D(t) = k I(t)At1当 At T 0 时，dD(t) = kI (t)dt 13)同理，痊愈人数的变化=新增痊愈人数，则有：R(t + At) - R(t)二 k2I(t)At当 At T 0 时，dRt)二 k I (t) dt 24)累计感病人数=现有感病人数+死亡人数+痊愈人数，则有Y (t) = I (t) + D(t) + R(t)综上所述，我们可以得到甲型H1N1流感的S-I-R模型，模型一:dI (t)
11、=rI (t) - (k + k )I (t) dt121)也=kI (t) dt i蚁=kI (t)dt 2Y (t) = I (t) + D(t) + R(t)其中，初始值为7 (0) = 1Y (0) = 1VD (0) = 0、R (0) = 0模型求解对于现有感病者人数I(t)，根据S-I-R模型的方程(1)，求得: I (t)二 e(r-k1-k2)t ,t e At(2)r = 0.7209其中，Vk = 0.06771k = 0.52552我们根据以上求出的解，作出了中国的现有感病者人数预测图，如图3所示:150050070馳时间图 3 中国的现有感病者人数预测图4000300
12、0中国现有病人人数顼刘图50002501000I/o/:/10？由图3分析可知，中国的H1N1确诊者人数上升较快，这是因为中国政府在 爆发初期还未进行有效的防控措施，使得确诊人数快速增加。问题二模型建立在疫情发生一段时间后，卫生部门会采取有效的防控措施，如强制隔离感染 者和密切接触者等。本模型为采取有效的防控措施之后的传染病模型，即考虑隔 离强度 p 。隔离强度从自然状态下的 0 变为 p 。未被隔离的病人平均每人每天感染的人 数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值a + b逐渐减小至最小值a。a、b的值 客观存在，可从资料中查到。设每个未被隔离的病人每天感染的人数 r (t) = a + be
13、 一九其中，九用来反映r(t)的变化快慢，可以查资料估计出它的大小(九=)。 类似于问题一的分析，我们来考虑在采取隔离措施后的t到t + At时段内各类 人群的变化情况。现有感病人数的变化是由At时间段内的新增感病者、死亡人数和痊愈人数 决定的：现有感病人数的变化=新增感病人数一(死亡人数+痊愈人数)。r(t)为每个未被隔离的病人每天感染的人数，k和k分别为治愈率和死亡 21率。则有新增感病人数为现有感病者在单位时间(天)内的感染人数：新增感病人数=现有感病人数X感病者每人在At时间内的感染人数 =(1 - p) -1 (t) - r (t) - At新增死亡人数=死亡率x现有感病人数xAt=
14、 k1 X I (t ) X At新增痊愈人数=痊愈率x现有感病人数xAt= k x I (t ) x At2于是可得，1)现有感病人数的变化为：I(t + At) -1(t) = (1 - p)I(t) x r x At - (k + k )I(t) x AtI (t + At) -1 (t)At12=(1 - p)r x I(t) - (k + k ) x I(t)12当 At T 0 时， dIt) = (1 - p)rI(t) - (k + k )I(t)dt12(2) 死亡人数的变化=新增死亡人数，则有：D (t + At) - D (t) = kI (t )At1当 At T 0
15、时，= kI (t)dt 1(3) 同理，痊愈人数的变化=新增痊愈人数，则有：R(t + At) - R(t) = k 2I (t )At当 At T 0 时，= k I (t)dt 2(4) 累计感病人数=现有感病人数+死亡人数+痊愈人数，则有Y(t) = I(t)+D(t)+R(t)综上所述，可得微分方程模型二響=(1 - p)r(t)I(t) - (k + k )I(t) dt123)也=kI (t) dt 1蚁=kI (t)dt 2 v 7Y (t) = I (t) + D(t) + R(t)其中,rr (t) = a + be-九v a = 0.245b 二 0.6初始值取模型一的最后一个值。模型求解我们求得现有感病人数的方程：I (t) = e(1
