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1、8.7立体几何中的向量方法(二 ) 求空间角和距离1 空间向量与空间角的关系与 l 2(1) 已知异面直线 l1， l 2 的方向向量分别为 s1， s2，当 0 s1， s2 时，直线 l12的夹角等于 s1， s2；与 l2的夹角等于 s1， s2 当 s1， s2 时，直线 l121 和 2 的法向量分别为与 2 的n1 和 n2，当 0 n1， n2 时，平面 1(2) 已知平面 2夹角等于 n1， n2； n1 ，n2当 n1， n2 时，平面 1 与 的夹角等于22(3) 已知直线l 的方向向量为s，平面 的法向量为n，则直线l 与平面 的夹角 满足：sin |cos s， n |
2、.2 距离公式点到直线的距离公式：点到平面的距离公式：22d|PA| |PAs0 | .d |PAn0|.1 判断下面结论是否正确 (请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角()(4)两异面直线夹角的范围是(0， 2，直线与平面所成角的范围是0， 2()(5)直线 l 的方向向量与平面的法向量夹角为 120 ，则 l 和 所成角为 30.()m ，n ，则 m，n 所成的角， m， n 是异面直线，且2 已知二面角 l 的大小是 3为()2A
3、. 3B.3C.2D.6答案B解析m ， n， 异面直线m，n 所成的角的补角与二面角l 互补又 异面直线所成角的范围为(0， 2， m，n 所成的角为 3.3 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为n (2， 2,1)，已知点 P( 1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于()A 4B 2C 3D 1答案B解析P 点到平面 OAB 的距离为| 2 6 2|OPn|d|n| 2，故选 B.94 若平面 的一个法向量为n (4,1,1) ，直线 l 的一个方向向量为a ( 2， 3,3)，则 l 与所成角的正弦值为 _ 答案41133解析 na 83 3 8，
4、 |n| 16 1 1 3 2，|a| 4 99 22， cos n， a na 84 11|n| |a| 32 2233 .411又 l 与 所成角记为，即 sin |cos n， a |33 .5 P 是二面角AB 棱上的一点，分别在平面、 上引射线PM、 PN，如果 BPM BPN 45， MPN 60，那么平面 与 的夹角为 _答案 90解析 不妨设 PM a， PN b，如图，作 ME AB 于 E， NFAB 于 F， EPM FPN 45，PE222 a， PF 2 b， EMFN (PM PE) (PN PF) PMPN PMPF PEPEPFPN2222 abcos 60 a
5、 2 bcos 45 2 abcos 45 2 a 2 b ab ab ab ab 222 20， EM FN ， 平面 与 的夹角为90.题型一求异面直线所成的角例 1长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AA1 2， AD 1， E 为 CC 1 的中点，则异面直线BC 1 与 AE 所成角的余弦值为()1030215310A.10B. 10C.10D.10思维启迪本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量 BC1、 AE所成的角来求答案B解析建立坐标系如图，则 A(1,0,0) ，E(0,2,1) ，B(1,2,0)，C1(0,2,2) BC 1 (1,0,2)， AE ( 1,
6、2,1)， 30BC 1AE.cos BC1，AE 10|BC1| |AE|BC1 与 AE 所成角的余弦值为30所以异面直线10 .思维升华用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是0， 2，两向量的夹角的范围是0 ，所以要注意二者的区别与联系，应有cos |cos |.已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，底面ABCD 为正方形， AA1 2AB， E为 AA1 的中点，则异面直线BE 与 CD 1 所成角的余弦值为()1013103A. 10B.5C.10D.5答案C解析如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设 AA
7、1 2AB 2，则 B(1,1,0) ， E(1,0,1) ，C(0,1,0) ， D1(0,0,2) ， BE (0， 1,1)，CD 1(0 ， 1,2)， 1 2310. cos BE， CD12 510题型二求直线与平面所成的角例 2 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD， AC BD，垂足为 H ，PH 是四棱锥的高， E 为 AD 的中点(1) 证明： PE BC；(2) 若 APB ADB 60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值思维启迪： 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的
8、法向量(1) 证明以 H 为原点， HA ，HB，HP所在直线分别为x，y，z 轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图 )，则 A(1,0,0) ， B(0,1,0) 1m设 C(m,0,0)， P(0,0， n) (m0) ，则 D(0， m,0)，E 2， 2 ， 0 .1m可得 PE 2，2 ， n， BC (m， 1,0) mm 00，所以 PE BC.因为 PEBC223(2) 解 由已知条件可得m 3 ， n 1，3313故 C 3 ，0，0，D0， 3 ，0 ，E2，6 ， 0，P(0,0,1) 设 n (x， y，z)为平面 PEH 的法向量， 0，13则 nHE
9、即 2x 6 y 0， 0，z 0.nHP因此可以取n (1，3， 0)又 PA(1,0， 1)，2所以 |cos PA， n |4 .PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为2所以直线4 .思维升华利用向量法求线面角的方法：(1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角 (或其补角 )；(2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角(2013 湖南 )如图，在直棱柱 ABCD A1B1C1D 1 中， AD BC， BAD 90， AC BD， BC 1， AD AA1 3.(1) 证明： AC B1D；(2) 求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值方法一(1)证明如图，因为BB1 平面 ABCD ，AC平面 ABCD ，所以 AC BB1.
