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1、实用标准文案2.1平面向量的概念及线性运算一、向量的有关概念(一) 向量的有关概念1、 向量的定义：既有 有勺量叫做向量。2、 表示方法：用 表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方 向表示向量的方向。用 a , b ,或用AB , CD ,表示。3、 模：向量的q向量的模，记作 或。(二) 几种特殊的向量1、 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0 ;零向量的方向是 它与任意非零向量都共线 。2、 单位向量：长度为 位长度的向量叫做单位向量，常用e , i , j 表示。与a平行的单位向量 e =。3、 平行向量： 方向或的 量；平行向量又叫 任一组平行向量都可以移到同一直线
2、上规定：0与任一向量。4、 相等向量：且勺两个向量，记 a = b。5、 相反向量： 且 勺两个向量，记 a = b。例1:下列说法中正确的是O(1)向量就是有向线段；=*(2)零向量没有方向；(3)若向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反；(4)两个有共冋起点而且相等的向量，其终点必相冋；(5 )右向量AB与向量CD是共线向量，则点 A、B、C、D必在同一条直线上。【解析1 : (4 )变式练习1 :下列说法中正确的 (1)单位向量都相等；(2) I a丨与丨b丨是否相等，与向量 a与向量b的方向无关；(3) 若A、B、C、D是不共线的四点， 则AB = DC是四边形ABCD为
3、平行四边形的充要条件；(4)若向量a与向量b共线，向量b与向量c共线，贝U向量a与向量c共线；(5)两向量a、 b相等的充要条件是I a I = | b I且a /b ；( 6 )若| a I = | b I,则a = b或a =-b ； (7)向量a与向量b平行，则向量a与向量b的方向相同或相反；【解析:(2) (3)变式练习2 :下列说法中正确的 (1)若向量a与向量b同向，且I a II b I,则a b ； (2)由于零向量方向不确定， 故零向量不能与任意向量平行；(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D在一条直线上；(4 )起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等
4、向量。【解析:(4 )、向量的线性运算及几何意义向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法制w-r-Wra + b = b + a!|二HI(a + b ) + c = a + ( b+ c)r3求a与b的相反向量1减法b的和的运算叫J a-ba b = a + ( b)at-做a与b的差三角形法制(1)a丨1 a(2 )当当 0时，a的方向与a的方向相同；当*f求实数与向量a的(a) ( )a9T数乘v 0时，a的方向与a的()a a b积的运算(a b) a b方向相反。(3)当当0或a0时，a0。结论：（、1）设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：fe-ffc-
5、*ff(a)()a( )aa b(a b) a b(2) |1 a | | b | | w| a + b |千W| a | + | b当a与b异向共线时当当a与b同向共线时【和的模小于等模的和，大于等模的差的绝对值】(3) a + b = b + a (a + b)+ c = a + (b + c)例2 :化简:(1 ) AB + BC + CA =o_(2) AB + MB + BO + BC + OM =(3) AB + CA - CB =。(4) AB CD + BD AC =。(5) NQ + MN MP + QP =。例3 :根据右图所示填空(1) a + b =;-6-r(2) c
6、 + d =；(3) a + d + b = ；(4) DE + CD + AC =；(5) AB + BC + CD + DE =。变式练习1 :如图所示，在正六边形 ABCDEF中，CD + EF =()A: 0B： BEC: AD D: CF【解析】：D变式练习2 :如图所示，四边形 ABCD是梯形，与BD交于点0 ,则OA + BC + AB =()A: CD B: OC C: DA D: CO【解析】B变式练习3 :在平行四边形ABCD中，若丨BC + BA | = |是（）BC + AB |,则四边形ABCDA :菱形B:正方形 C :矩形D :梯形| 】 J- |，故四边形 AB
7、CD为矩形.解析：由图知L -1 J|= -|,.)j=-j = p -|.所以 I-J-j = |变式练习4 :若0是MBC所在平面内一点，且满足丨0B OC I = 1 OB OA + OCOA I,试判断 ABC的形状。解析】：.?；.、-； :-.!_.r .|=|不石存石,1 _ : .|以AB , AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，.此平行四边形为矩形,AB丄AC ,AABC是直角三角形.例4 :如右图：在平行四边形 ABCD中，E为DC边的中点，且 AB = a , AD = b，贝U BE =。【解析】：BE = 1 a + b2例5 :在三角形 OAB中，延长 B
8、A至U C,使AC = BA，在1 -0B上取点D，使得DB = - OB , DC与OA交点E,设OA 3=a , OB = b，用 a , b 表示 OC , DC。【解析一】：点A是BC的中点 BA = ACOA = OB + BA OA = OC + CA2 OA = OB + BA + OC + CA1OA = - ( OB + OC ) OC = 2OA OB = 2 a b 2- - - 2 * 2 - 5DC = OC OD = OC OB = 2 a b b = 2 a b333【解析二】：T点A是BC的中点 BA = AC = a bOC = OA + AC = a + a
9、 b = 2 a b2 -2 -5DC = OC OD = OC OB = 2 a 一 b 一 b = 2 a 一 b333变式练习1 :在平行四边形 ABCD中，设AB = a ,AD = b , AN = 3 NC , M 为 BC 的中点，用 a、b 表示MN。【解析】：MN = l(b a)4BC的一个三等分点，那么EF等于()A :1 1 -AB - AD1 1 B：AB + AD2342111 2C：-AB + DAD ： AB - AD2 223变式练习2 :在正方形 ABCD中，点E是DC【解析】：Dzc三、向量共线定理I- + t*t8-对于向量a( a工0)与b共线，当且仅
10、当有唯一一个实数，使得b = a。注意：(1 )、向量证明a与b共线，只需证明存在实数，使得b = a即可。(2)、如果a = b = 0 ,数 仍然存在，此时并不唯一，是任意数值。特别地：(1) 两条线段平行与两条线段共线是不一样的，而两个平行向量就是共线向量。(2) 要证明三点共线需要说两点 三点确定的向量共线；两向量有公共点例6:已知任意两非零向量 a、b，试作OA a b , OBa 2b , OCa 3b，证明:文档A、B、C三点共线。【解析】：t AB = OB OA = (a 2b ) (ab ) = b , BC = OC OB = (a3b)(a 2b ) = b , 二 A
11、B = BC 所以 A、B、C 三点共线。综上：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算对于任意向量a、b及任意实数,恒有(a 2b) 1a 2b。变式练习1 :试证起点相同的三个向量 a、b、3a 2 b的 终点在一条直线上。【解析】：如图，设OA = a , OB = b , OC = 3a 2b，则i-i-*-frr AC = OC OA = 2 a 2 b , AB = OB OA = b a , AC = 2 AB，又因为AB与AC有共同的起点 A，故A、B、C三点共线。变式练习2 :设a、b是不共线的两个非零向量，(1 )若OA = 2a b , OB = 3a + b ,OC
12、= a 3 b，求证：A、B、C三点共线；(2 )若8 a + kb与ka + 2 b共线，求实数 k 的值。【解析】：(1) AB = a + b , BC = 2a 4b , 2 AB = BC，使得 8a + kb = (ka + 2b)，得(2 )8 a + k b与k a + 2 b共线，故存在实数ka + 2 b，即 k 8 得2 k k2/k=44例7 :已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C,满足2 AC + CB = 0 ,则OC等于()A : 2 OA OBB: OA + 2 OBC: - OA + 1 OB D : - OA + - OB3323【解析】：A
13、2 AC = CB = BC，故A是BC的中点。变式练习1:设D为ABC所在平面内一点，且 BC = 3 CD，则()1 一 41 4A: AD = AB + ACB: AD = AB 一 AC3333一 4 1 4 一 1C: AD = - AB + ACD : AD = AB - AC3333【解析】由BC = 3 CD，点D在BC的延长线上，且 BC = 3CD，选A变式练习2:设a = (AB + CD) + (BC + DA), b是任一非零向量，则在下列结论中: a /b : a + b = a : a + b = b ;丨 a + b I 1 a I + 1 b 丨；丨 a + b 1 =
