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1、心电逆问题的解决方法及其改善方法摘要：心电体表电位逆问题是心电学的基础理论研究。本文全面的讨论了心电逆问题的三种解决方法：有限元法、边界元法、结合有限元和边界元的方法。本文对应用数值方法求解三维心电图逆问题时出现的解的不稳定现象，提出了有效地解决方法。关键字：心电逆问题；有限元法；边界元法；优化方法Abstract：Body surface potential ECG inverse problem is the basic theory of electrical heart. This comprehensive discussion of the three ECG inverse pr
2、oblem solution (FEM、BEM、Finite element and boundary element method). In the paper, three-dimensional numerical method for solving the ECG inverse problem solution when instability was proposed effective solution. Key word: Inverse problem of electrocardiography; Finite element method; Border element
3、 method一、 引言人体生物电如心电等是体现人类生命活动的重要生理现象。测量和分析它包含的各种信息，是现代心脏疾病诊断技术的重要内容。人体是一个封闭体，其心电活动是源于深植人体内部的电源体如心肌纤维所产生。从体表测量的心电信号则是由众多的电源体在一个三维容积导体内形成的电流场，有人体组织传导至表面的一种综合信号。从电磁场理论的角度，心电场问题的数学描述已经相当准确。现代心电理论研究，通常可分为正向问题(forward problem )和逆问题(inverse problem)。所谓正向问题：即是指在给出与心兴奋传导有关的电气特性和胸腔内的心电源分布特性的基础上，在体表面构成心电圈波形。本
4、文将集中讨论心电图逆问题的研究。所谓心电图逆问题，就是从心电场在体表面所产生的电位分布来推断心脏内电活动的过程。目前在临床应用中,医生一般应用心电图对病人的心脏健康进行诊断,广义来说,这也是一种心电逆问题的解决过程,只是这个诊断过程是定性而非定量的,同时,它更多地基于先验性的经验知识。因而,心电逆问题的研究具有重要的临床意义和生理意义,一方面,它对研究心脏的病理学是必需的;另一方面,它可以作为一种临床工具较为准确地协助医生得到有关心脏电活动的诊断信息1。但是，由于心电图逆问题是根据从人体表面测量的体表电位重构心外膜上的电位分布，它的数学方程具有严重的病态，是一个典型的不适应性问题。关于心电逆问
5、题的研究，将着重从心电图逆问题的求解方法，它的病态条件及其优化方法等方面进行讨论。二、 求解方法心电逆问题就是在已知胸膛内的器官组织的形状和边界导电率的情况下，从体表面心电图出发推出整个心动周期的心外膜电位。它和心电图正问题之间的关系如图（1）所示： 图（1）由测定的大面积体表电位值推断心电源参数或心外膜电位分布是心电逆问题研究中的两大分支。以心外膜电位为推断对象是最近年来人们用得比较多的方法，虽然心外膜电位并不能完全代表心脏内部的电活动，但两者之间有直接的关系。用于求解心外膜电位的逆问题解法主要有有限元法和边界元法。人体胸腔剖面可以帮助我们理解场域的划分和界定。图（2） 是一个经过适当简化的
6、人体胸腔剖面。在图（2）所示场域内，Sb代表人体表面，Sm代表肌肉层内某一表面，St代表肌肉层表面，而Sh代表心外膜表面。（1）、有限元离散模型有限元方法处理包含各向异性导电媒质的场域有巨大的优点，而人体胸腔被一层具有各向异性导电性的骨骼肌肉层包围，所以，我们选取有限元法对骨骼肌肉层进行处理。骨骼肌的各向异性导电性体现在肌肉纤维排列方向，沿纤维方向具有较高的导电率，其切线方向则导电率较低，两者差别为15 倍，更为复杂的是，每块肌肉的纤维排列也不一样，如背阔肌与胸大肌呈现的纤维方向就完全不同。为了尽可能地模拟人体胸腔覆盖的骨骼肌肉层的纤维方向，我们近似把人体胸腔分成5大块，每块由24 种不同的纤
7、维排列所组合而成，这种组合虽然不完全与解剖学一致，但是已经相当接近了。图（3a）展示了纤维排列方向与头*脚轴线所成的角度。根据测定纤维与头-脚轴线所张角度，我们可以应用一种特殊的方法处理各向异性导电性，其方法可以参考文献2。在每一个剖分单元里，其纤维的排列可以近似处理为一致（图3b）。只要单元剖分足够精细和纤维方向分块足够准确，这种处理方法完全可以满足模拟计算要求。描述骨骼肌肉层里的电流场方程为： (Laplace方程) （1） （人体表面） （2）这里电导率是一个张量。（）是电位函数，Jb是体表法向电流密度。方程（2）代表人体表面和空气是绝缘的，即传导电流不能从人体表面流入空中。应用有限元法
8、对肌肉层区间的离散形式为： （3）(i=1,2,3,，；j=1,2,3,，)（p=1,2,3,;q=1,2,3,，）N为插值函数。E0为空间三维有限单元总数，为单元内的节点数，代表单元节点电位。为包围骨骼肌肉层的全体表面（和）边界单元数，为表面单元的节点数，而代表流过表面和的法向电流密度。把式（3）写为分块矩阵形式： （4）是与人体表面节点电位相应的有限元刚度矩阵分块矩阵。是与中间节点电位相关的分块矩阵。肌肉层表面节点电位相关的分块矩阵。而B 则是与各节点的法向电流密度J相关联的系数矩阵，下标b,t,m的含义与A和 相同。由于单元之间相互抵消，实际取零值。（2）、边界元离散模型从肌肉层内表面到
9、心外膜，是三维胸腔之中最大的场域区间。由于双肺叶的导电率与体液导电率相当接近3，许多研究者近似认为二者相同。本文在构成三维胸腔时，也认为肌肉层内表面到心外膜的空间是一个均匀且各向同性场域。如果选用边界元法，仅仅需要剖分场域边界，即减少了未知数数目，剖分又具有巨大的灵活性，不会造成有限单元与心脏表面耦合困难。所以，应用边界元法获得这部分离散模型，具有应用有限元法无法替代的优点。图4(a),(b)是人体正面和侧面的剖分模型。应用边界元法进行离散后的方程为： （5）这里N为插值函数；G 为三维空间的格林函数。E0为整个边界元区域的节点总数，把式（6）进一步整理为分块矩阵方程为： (6)这里，下标t代
10、表肌肉层表面,h代表心脏表面。H是边界元形成的电位系数矩阵的分块形式，G代表边界元形成的电流密度系数矩阵的分块形式。（3）、结合有限元和边界元的方法根据电流在边界St上的连续性，我们可以在方程（4）和方程（6）中找到共同的变量，即流过边界St的法向电流密度Jt,并通过Jt将两种方法耦合起来。写为矩阵形式为： (7)X是待求的节点电位和电流密度向量；F是表面测量电位。这种方法与文献4,5所提方法相比，可以直接耦合有限元区域和边界元区域，而不再应用有限差分法求解电位梯度作为耦合变量，从而减化了计算过程，降低了剖分和计算工作量，提高了计算精度。四、病态条件上面引言中已经说到，人体是一个封闭体，其心电
11、活动是源于深植人体内部的电源体如心肌纤维所产生。从体表测量的心电信号则是由众多的电源体在一个三维容积导体内形成的电流场，有人体组织传导至表面的一种综合信号。由于人体胸腔是由具有不同导电特性的器官和组织构成，心电信号在传导过程由于空间平滑作用的影响和组织的损耗，只有部分电信号能够从体表测量到，而且是一种叠加效果。这种从体表测量心电随时间变化规律，由医师根据经验由表及里推断心脏表面，乃至心脏内部的电活动特点，构成了目前传统心电图的诊断方法。其准确率据文献报道1,2至多能达到50%。长期以来，怎样更准确和客观地由体表测量电位评估心脏电活动特点，是电生理学家和临床医学十分关注的问题。从电磁场理论的角度
12、，人体生物电场如心电场问题的数学描述已经相当准确了。但是，由于人体结构的复杂性，应用数学的手段来代替人完成这个由体表电位推断心脏电活动仍然是相当困难的。但是，由于人体结构的复杂性，这个数学描述的求解则相当的困难。原因则有两点：（1）、解析方法不可能求解人类胸腔这样一个有多种媒质、形状不规则的三维容积导体内电流场问题。只有数值计算方法才是唯一可行的方法。（2）、心电图逆问题是根据人体表面测量的体表电位重构心外膜上的电位分布，它的数学方程具有严重的病态，是一个典型的不适应性问题6,7。第一个困难体现在三维人体离散模型的建立，本文中已经应用有限元法结合边界元的方法建立了一个包含各向异性肌肉层在内的三
13、维人体胸腔模型8。第二个困难体现在对心电图逆问题的数学模型进行求解时，如何克服不适定性问题引起的解的振荡和不收敛9。下文中在心电图逆问题的实际求解中，应用了两个数学处理方法，对解的稳定性的提高取得了很好的效果。五、优化方法由于心电图逆问题是属于不适定性问题10，方程（6）的病态是相当的严重的。再者，大部分逆问题由于表面测量点多余内部表面待求节点数，矩阵多为超定。所以本文应用阻尼最小乘法进一步处理方程： （7）这里为非负的阻尼因子，l是单位矩阵。方程（7）代表一般心电图逆问题的求解格式。但是，在应用式（7）求解一个具有解析解的例子时，发现阻尼因子的选择范围非常狭小。如图所示，随着逐渐接近零，解的
14、稳定性无法再获得提高。图（5）为解析解和数值解的比较，从中可见当在表面测量电位中加入1%的测量误差（白噪声）时，数值解在曲线尾部发生剧烈的振荡。 图（5）阻尼因子与误差的关系 图（6）模拟重构计算曲线直接导致上面解的不稳定的原因为：用于人体各类组织的电导率非常小，是离散形成的系数矩阵元素的值也非常小，直接导致了阻尼因子的值的可选范围很狭小，限制了对系数矩阵病态性的可改进程度。经过大量的模拟计算，我们终于找到解决的方法，其为：把电导率进行规一化处理，即所有电导率提高一个相同的数量级，这时系数矩阵的所有元素的值也将随之上升，阻尼因子的值的可选范围扩大。例如：我们绘出了规一化处理后阻尼因子和误差的关
15、系（如图7），从中很容易确定出阻尼因子最佳取值点位置。图（8）则展现了在该最佳阻尼因子下，同样加入1%的测量误差时逆问题的解答。图（7）阻尼因子与误差的关系 图（8）模拟重构计算曲线六、总结应用电磁场的数值计算方法求解三维心电图逆问题是医务工作者和工程技术人员广泛关注的问题。本文从数值计算方法的角度，探讨了心电图逆问题的数学模型和有效的提高逆问题解的数值稳定性的方法。另外，在建立三维仿真人体胸腔模型是一个非常困难的工作。本文应用结合有限元和边界元的方法，构造了一个包含各向异性肌肉层的新型人体胸腔模型。尽管这个模型并不是按照完备的人体解剖模型塑造的，而做了必要的简化，然而作为一种首次考虑了人体各向异性肌肉层的三维胸腔模型，并在此模型下较为成功地进行了心外膜电位重构计算，对心电图逆问题的发展是有一定意义的。本文所提的方法和模型对具有临床应用价值的心电图逆问题的求解有重要意义。七、参考文献1、Gulrajani RM. The f
