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1、1.1.1 正弦定理【教学目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。【教学重点】正弦定理的证明和理解【教学难点】正弦定理的证明【教学过程】一新课引入：初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一-正弦定理问题1.在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：=【猜想与推广】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = =2R（R为ABC外接圆半径）证明：2斜三角形
2、中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =二正弦定理的应用 定理剖析，加深理解正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。从方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“
3、知三求一”。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知两边与任一边，求其他两边和一角；已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。例1 已知在解：由得 由得例2 在解：【比较例1，例2】体会：例3 解：，【变式】【探索】(*)例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCA四、课堂练习：1在ABC中，,则k为( )A2R BR C4R D(R为ABC外接圆半径)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形(*)3在ABC中，求证：五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1在中，已知，求2
4、在中，已知，求3在ABC中，已知，求证：2b2a2c24在ABC中，已知试判断ABC的形状。5.在中,内角A、B、C的对应三边分别为,已知,若满足对任意三角形都成立,求实数的取值范围1.1.2 余弦定理教学目标：1使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、献身科学、勇于创新的精神。教学重点：余弦定理及其发现和证明。教学难点：余弦定理的证明。教学过程：一.问题情境
5、在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？（三个，其中至少有一边）问题1：已知两边一夹角，三角形能否确定？或者已知三边，三角形能否确定？探索活动1:（回归特殊）在RtABC,C=900,那么边边之间有哪些关系?勾股定理：（*）受（*）式启发，在锐角三角形中；在钝角三角形中问题2：那么a与b、c之间是否仍然存在着“平方和”关系？猜想： 二理论建构如图在中，、的长分别为、已知、和，求边方法1：（向量的方法）方法2：（几何法）在ABC中，设BCa，ACb，ABc，试根据b，c，A来表示a.解：过C作CDAB，垂足为D，则在RtCB中，根据勾股定理可得：另外，当A为钝角时
6、也可证得上述结论，当A为直角时a2b2c2也符合上述结论。这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，下面我们给出余弦定理的具体内容.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：（已知两边和其夹角求第三边）a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC.形式二：（已知三边求角）cosA=，cosB=，cosC=注意：利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角，这类问题由于三边确定，故三角也确定，解惟一(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两
7、个角惟一，故解惟一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.三数学应用例1：在ABC中，（1） 已知b3，c1，A=600，求a；（2） 已知a4，b5，c=6求A。例2：用余弦定理证明：在ABC中，当为锐角时， ；当为钝角时，四随堂练习1若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D不是钝角三角形2.在ABC中，已知求。3. 在ABC中，若，求角1.2.1解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法
8、有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上
9、都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角AB
10、C，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= = 113.15根据正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生
11、积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（
12、用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三
13、角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sinBAC =BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业1、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）板书设计授后记1.2.2解三角形应用举例教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解
