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1、高中数学圆锥曲线解题技巧篇一:高中数学圆锥曲线解题技巧总结 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。 (2)双曲线有两种定义。r1?r2?2a，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a:第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为
2、一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用1 韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有: xy0x2y2 ?k?0。 (1)2?2?1(a?b?0)与直线相交于A、B
3、，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有022ababxy0x2y2 ?k?0 (2)2?2?1(a?0,b?0)与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有022abab (3)y2=2px(p0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42) (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,分析:(1)A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PFP、F三点共线时，距离和最小。 (2)B在抛物线内，如图，作QR?l交于R，则当B、Q、R最小。 2
4、 解:(1)(2，2) 连PF，当A、P、F三点共线时，AP?PH?AP?PF最小，此时y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，(注:另一交点为( 1 ,?2)2 1 (2)( 1 ,1) 4 过Q作QR?l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?QF?BQ?QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x= 14，?Q(14 ,1) 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离 ”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例2、F是椭圆x2y2 4?3 ?1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，(1)?PF的最小值为 (2)?2PF的最小值为 分析:PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一
5、焦半径PF?题。 解:(1)4-5 3 设另一焦点为F?，则F?(-1,0)连AF?,PF? PA?PF?2a?PF?2a?(PF?)?2a?AF?4? 当P是F?A的延长线与椭圆的交点时, ?PF取得最小值为4-。 (2)3 作出右准线l，作PH?l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=12 ， ?PF? 1 2 PH,即2PF?PH ?2PF?PH 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为a2 c ?xA?4?1?3 例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4分析:作图时，要注意相切时的“图形特征”(如图中的A、M、C共线
6、，B、D、M共线)等于半径”(如图中的MC?MD)。 解:如图，MC?MD， ?AC?MA?MB?DB6?MB?2 ?MB?8(*) 2 x2y2 ?1 ?点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹4 方程为 1615 2 点评:得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 (x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4，再移项，平方，?相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐 例4、?ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB= 3 sinA,求点A的轨迹方程。 5 分析:由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边
7、乘以2R(R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB= 33 sinA2RsinC-2RsinB=?2RsinA 553 BC 5 ?AB?AC? 即AB?AC?6 (*) ?点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ?2a=6，2c=10 ?a=3， c=5， b=4 x2y2 ?1 (x3) 所求轨迹方程为 5 916 点评:要注意利用定义直接解题，这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析:(1)可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB
8、中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 (2)M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一:设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0) 22 ?(x1?x2)2?(x12?x2)?9? 则? ? ?x1?x2?2x0 ? ?22 x?x?2y120? 由?得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x2?1+(x1+x2)2=9 ? 由?、?得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入?得 (2x0)2-(8x02-4y0)?1+(2x0
9、)2=9 3 2 ?4y0?4x0? 6 9 ， 2 1?4x0 2 4y0?4x0? 992 ?(4x?1)?1 022 4x04x0?1 5 4 ?2?1?5, y0? 当4x02+1=3 即 x0? 5225 时，(y0)min?此时M(?,) 4224 法二:如图，2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3 ?MM2? 3， 即25 ?MM1?， 当4 ?M到x 点评:用梯形的中位线，转化为F，而且点Mx2y2 ?1(2?m?5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从7 左到右依次变于A、例6、已知椭圆 mm?1 B、C、D、设f(m)=AB?CD,(1)求f(m),(2)求f(
10、m)的最值。 分析:此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B圆上，同样C在椭圆上，Df(m)?(xB?xA)2?(xD?xC)2?2(xB?xA)?(xD? 2(xB?xC)?(xA?xD) 4 ? 2(xB?XC) 此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 x2y2 ?1中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0) 解:(1)椭圆 mm?1 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ?(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=- 2
11、m (2?m?5) 2m?1 8 f(m)?AB?CD?2(xB?xA)?(xD?xC)2m ?2(x1?x2)?(xA?xC)?2x1?x2?2? 2m?1 (2)f(m)? 2 2m?1?11 ?2(1?) 2m?12m?1 ?当m=5时，f(m)min? 2 942 3 当m=2时，f(m)max? 点评:此题因最终需求xB?xC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得 x0yxx?1m?0?k?0，将y0=x0+1，k=1代入得0?0?0，?x0?，可见mm?1mm?12m?1 xB?xC? 2m 2m?1 当然，解本题的关键在
12、于对f(m)?AB?CD的认识，通过9 线段在x轴的“投影”发现f(m)?xB?xC是解此题的要点。 【同步练习】 5 篇二:高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结 圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 b2x0x2y2 在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=,2; ay0ab b2x0x2y22 在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2;在抛物线y?2px(p?0)中，以 abay0 p P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。 y0 提醒:因为?0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，
13、故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验?0 2(了解下列结论 2222 10 (1)双曲线x?y?1的渐近线方程为x?y?0; a2b2a2b2 2222 b (2)以y?x为渐近线(即与双曲线x?y?1共渐近线)的双曲线方程为x?y?(?为参数，?0)。 2222 aabab 22 (3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?ny?1; 2b2b2 (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为，焦准距(焦点到相应准线的距离)为，抛 ac 物线的通径为2p，焦准距为p; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线y?2px(p?0)的焦点
14、弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则?|AB|?x1?x2?p; 2 p2 ,y1y2?p2 ?x1x2?4 11 (7)若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0) 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: 2 ?1? (1)在?ABC中，给出AD?AB?AC,等于已知AD是?ABC中BC边的中线; 2 ? (2)在?ABC中，给出?，等于已知O是?ABC的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (3)在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (4)在?ABC中，给出?，等于已知O是?ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); (5) 给出以下情形之一:?AB/AC;?存在实数?,使B?AC;?若存在实数 222 ? ?,?,且?1,使OC?OA?OB,等于已知A,B,C三点共线. (6) 给出?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给12 出?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出?m?0,等于已知?AMB是锐角, ? ? ?(8) 给出?,等于已知MP是?AMB的平分线/ (9)在平行四边形ABCD中，给出(?)?(?)?0，等于已知ABCD是菱形; ? (10) 在平行四边形AB
