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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页 共1页正整數乘法問題解題策略之研究以國小二年級學童為例 許美華1 劉曼麗21台南市安慶國民小學2屏東師範學院數理教育研究所（投稿日期：90年1月6日；修正日期：90年1月19日；接受日期：90年2月6日）摘要本研究目的在探討國小二年級學童正整數乘法問題的解題策略。研究對象來自南部某國小的5班學童共182人。評量工具為自編的筆試試卷。資料蒐集是以乘法教學前後各兩次筆試為主。資料分析則以文件分析法為主。研究結果發現：國小二年級學童常用的乘法解題策略有10種、並非所有學童都能在乘法教學後改用乘法、不同類型的乘法問題（等組型、直
2、積型與比較型問題）與不同位數的數字（一位數一位數、一位數二位數與二位數一位數）對學童的解題都會造成影響。關鍵詞：正整數乘法問題、解題策略、國小二年級學童回22期目錄 壹、研究動機與目的筆者從乘法相關的研究（李俊仁，1992；林碧珍，1991；林慧麗，1991；Anghileri, 1989; Kouba, 1989; Mulligan, 1992; Mulligan & Mitchelmore, 1997）與自身的教學經驗中發現，學童正整數乘法問題的解題策略雖然很多，但是使用情形會因個別差異而有不同，例如，有些學童會使用一些較節省運算步驟的過渡型解法來解決數字超過10的乘法問題，但同時也有學童
3、是以連加法來解決此類問題，更有學童直到乘法啟蒙教學後仍無法使用乘法來解題。此外，國內的研究大多以國小中、高年級學童的乘、除法概念為研究重點，較缺乏對低年級剛接觸乘法的學童進行乘法解題方面的報告，因此本研究以國小二年級學童為對象、以正整數乘法問題為範圍，來探討國小二年級學童在乘法啟蒙教學前、後所使用的解題策略。同時，由於乘法問題的設計牽涉到問題的類型與數字的大小，所以本研究也會連帶探討這些因素對學童解題的影響，期盼本研究能讓國小數學教師更加了解學童的乘法解題策略，進而對乘法教學有所助益。貳、文獻探討一、乘法問題解題策略的分類與發展順序Anghileri(1989)按照計數程序的複雜程度，將152
4、位學童的乘法解題策略分成四種：單一式計數（unitary counting）、節奏式數數（rhythmic counting in groups）、數字模式（use of number pattern）和乘法事實的使用（use of multiplication facts），並在研究結果中發現，學童是從單一式計數、節奏式數數，發展到乘法事實的使用。Kouba(1989) 從研究中發現，128位學童的乘法文字題解題策略依據抽象程度可分成：直接表徵法（direct representation）、過渡型數數法（transitional counting）、加法（additive）和背誦乘法事實（
5、recalled number fact），並從統計結果中發現，越低年級的學童使用的策略就越具體，因而策略的發展順序是從直接表徵法、過渡型數數法、加法，發展到背誦乘法事實。Mulligan(1992) 從70位學童長達二年的訪談中發現，乘法解題策略的表現層次有三：直接表徵後點數、無直接表徵之計數或相加、使用已知或導出的加法或乘法事實。此外，Mulligan進一步將學童所使用的解題策略細分成九種：全數（counting all）、雙倍數（double counting）、跳數（skip counting）、連加法（repeated addition）、重複相加（additive doubling
6、）、折半相加（additive halving）、已知的加法事實（known addition fact）、已知的乘法事實（known multiplication fact）和導出的乘法事實（derived multiplication fact）。Mulligan 和Mitchelmore(1997)按照計算策略（也稱為抽象程度）將其他研究者所提出的乘法解題策略分成五種，並形成發展的順序為直接計數、節奏式計數、跳數、加法式計數和乘法式計數。從研究結果（70位學童的表現）中發現，學童的解題策略有七：單一式計數（unitary counting）、向前節奏式數數（rhythmic counti
7、ng forward）、向前跳數（skip counting forward）、連加（repeated addition）、重複相加（additive doubling）、已知的乘法事實（known multiplication fact）與導出的乘法事實（derived multiplication fact）。林慧麗（1991）依抽象程度將120位幼兒的乘法解題策略分成六種：直接表徵法、加法、跳數法、回憶法、數數法和未知法，並從不同年紀學童的表現中發現，解題策略的發展順序為直接表徵法、數數法、跳數法、加法和回憶法（未知法因學童不能清楚說明解答產生的歷程，因而無法決定其發展順序）。由上面的說
8、明中可以發現，不同的研究者所提出的乘法解題策略在名稱上有混用的情形，經過筆者分析、歸納後發現，已經被提出說明的乘法解題策略有以下11種（見表2-1）：表2-1 乘法解題策略之分類提出者解題策略Anghileri(1989)Kouba(1989)Mulligan(1992)Mulligan & Mitchelmore(1997)林慧麗（民80）直接表徵法單一式計數（全數）雙倍數（向前節奏式數數）跳數（節奏式點數）（向前跳數）過渡型數數法（數字模式）（數數法）連加法（加法）（加法）重複相加折半相加已知的加法事實已知的乘法事實（使用乘法事實）（背誦乘法事實）（回憶法）導出的乘法事實此外，雖然本研究並
9、非以學童乘法解題策略的發展為研究重點，但是學童乘法解題策略的改變，將不可避免的成為資料分析的重點之一。因此，學童乘法解題策略由直接表徵、計數、加法而乘法的發展順序，將是本研究分析資料與詮釋結果的依據之一。二、乘法問題之情境模式從乘法啟蒙教材中發現，國小二年級乘法教材的範圍是正整數乘法，且大都以文字題的型式呈現。依據Greer（1992）所提出之乘除問題的情境模式，正整數乘法文字題有以下四種：1. 等組型問題（equal groups）是由一些內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，等組情境以不同的方式出現，有些例子是自然重複的情形（如n個人有5n根手指頭）；重做一連串的動作（如一次走3步，要走
10、4次）；和人們的習慣，就如同將相同數目的東西給予一些人（如老師發給4個小朋友，每人5顆糖果）。另外一種方式則是比率的乘法（如每個人有4塊餅乾，3個人共有幾塊餅乾？），3個人是一個人的3倍，所以餅乾數也會增為3倍。2. 直積（Cartesian product）是描述一種有序對（ordered pair）關係，每一個有序對都是由一個集合的每一個元素與另一個集合的所有元素有順序的結合而成。例如在小明有4件不同顏色的上衣和5條不同款式的長褲，可以用來搭配成不同的外出服，請問小明的外出服有幾種不同的搭配方式？的問題中，外出服是由上衣與長褲二個集合所合成的。直積問題除了上述的外出服組合問題（新集合是由二
11、個已知集合中的所有元素按照順序所合成的一種問題）之外，還包括陣列問題（問題中的物件是呈方陣排列的一種乘法問題）。例如在牆上的磁磚橫看有5列，直看有6排，請問牆上共有幾塊磁磚？的問題中，可以利用直排的數目乘以橫列的數目來求出圖中的總數。3. 長方形面積（rectangular area）是將長方形任一邊和相鄰一邊的長度相乘，也可以把長方形分割成邊長為1公分的正方形，於是，長方形面積可以用正方形的個數來計數，這樣一個圖示與由m行和n列所形成的棋盤圖（也就像上述的陣列問題）很類似。例如在長4公尺，寬5公尺的長方形，其面積為多少平方公尺？的問題中，可以長度乘以寬度來求得長方形的面積，也可以用將長分成4
12、個1公尺、寬分成5個1公尺所構成的棋盤圖，來求出面積。在直積問題和長方形面積問題的運算中，上衣和長褲、直排的數目和橫列的數目、長和寬、m和n等二個數字都被視為等價，也就是說，這二個數字都可以是被乘數，而不影響其運算結果。在本研究中，因為考量二年級學童能力，長方形面積問題將以棋盤圖的形式呈現，其運算與直積型的陣列問題一樣，所以將長方形面積問題和直積問題合成一類，稱為直積型乘法問題。4. 比較型乘法（multiplicative comparison）是一種常被以n倍是多少？來敘述的情境，例如，小華的蘋果是小明的3倍，如果小明有4個蘋果，小華有幾個蘋果？乘法因子（multiplicative fa
13、ctor，也就是3倍）則被視為是乘數。此種比較型問題牽涉到二個量：基準量與比較量，而我們則是利用基準量（小明的蘋果數）來求比較量（小華的蘋果數）。此外，比較型乘法問題也可以被視為是多與一的對應（many-one correspondence），亦即小華的3個蘋果相當於小明的1個蘋果。依據上述的說明，筆者將正整數乘法文字題的類型摘要如圖2-1，並以此分類作為設計筆試試卷的依據之一。正整數乘法文字題等組型問題 直積型問題 比較型問題圖2-1 正整數乘法文字題之分類參、研究方法一、研究對象由於時間和精力的限制，筆者只從服務學校內二年級的13個班級中，隨機選取5班，共182位學童作為研究對象。這些學童
14、所使用的數學課本是南一版本。二、研究工具本研究以自編的筆試試卷為工具來蒐集學童的解題策略。筆者在參考國內外相關研究後，發現乘法問題的類型相當多，其中有些類型並不適合初學乘法的國小學生，又因為乘法啟蒙教材大都以正整數的乘法文字題呈現，故試題設計以正整數乘法文字題的分類（見圖2-1）為主，參考數學課本、習作和教學指引，設計相關的乘法問題，先形成試卷初稿，再經過二次預試，才發展成正式試卷。考慮三類問題在教材中的份量（見附註1），正式筆試試卷的內容包括：等組型乘法問題12題、直積型乘法問題4題與比較型乘法問題6題，共22題。此外，考量學童正要接受乘法教學，不宜處理太多的大數字題，所以22個題目中包括一
15、位數一位數的問題14題、一位數二位數4題、二位數一位數4題。因試卷內容太多，恐學童答題費時過久，故依問題類型與數字位數再將試題平均分成甲卷11題與乙卷11題。筆試甲卷的隔週重測信度（Pearson積差相關）為.824，乙卷為.850。至於效度方面，首先依據乘法教材分析和相關文獻探討，設計乘法問題，再經過二次預試，才發展成正式試題。每次預試的結果都與師院教授和國小老師討論，並將討論的意見作為編選及修正試題的依據。此外，筆試試題分類是採取專家效度，邀請數學教育專家和國小二年級數學教師共18位填寫效度量表，以確定各種題目所屬的類別。分析結果是等組型、直積型與比較型三類問題的效度均介於.89到1之間。另一方面，將甲、乙兩卷稍作修改，三類乘法問題的題數不予改變，題號順序只略作更改，而三種數字大小不同問題的題數則重新調整，儘量以平均分配為主，包括一位數一位數的問題8題、一位數二位數6題、二位數一位數8題，等學童接受第四冊全部單元的乘法教學後（共3個單元，教學內容見附
