《2013-2019年全国卷立体几何空间向量汇编(带解析)2020新课改专用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2019年全国卷立体几何空间向量汇编(带解析)2020新课改专用（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上全国卷立体几何题汇编2013-2019一、 填空选择1、【2016高考新课标理数11】平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，则m，n所成角的正弦值为（ ）(A)(B) (C) (D)【答案】A2、【2018全国1卷，理12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）ABC D【答案】A3、【2016全国1卷文11】平面过正方体的顶点平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直
2、线所成的角.4、【2017全国1卷文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ） A B C D【答案】A【解析】对于B，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于C，易知ABMQ，则直线AB平面MNQ；对于D，易知ABNQ，则直线AB平面MNQ故排除B，C，D，选A5、【2019全国1卷，文16】已知ACB=90，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_【答案】26、（2018理科II卷9）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD7、（
3、2017理科II卷10）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D8、（2014理科II卷11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）ABCD9、（2013理科II卷7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），
4、（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A二、 解答题1. 【2013课标全国，理18】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值 (2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.2
5、. 【2014课标，理19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（）证明：;（）若，,求二面角的余弦值.则，, 设是平面的法向量，则即所以可取设是平面的法向量，则同理可取则所以二面角的余弦值为3. 【2015高考新课标1，理18】如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面AEC平面AFC；（）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分4. 【2016高考新课标理数1】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中
6、，面ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角DAFE与二面角CBEF都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值【解析】为正方形面面平面平面由知平面平面平面平面面面四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设 ，设面法向量为.，即设面法向量为.即设二面角的大小为.二面角的余弦值为5. 【2017新课标1，理18】（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角APBC的余弦值.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面
7、的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，所以二面角的余弦值为.6. 【2018新课标1，理18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.则为平面ABFD的法
8、向量.设DP与平面ABFD所成角为，则.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.7. 【2019新课标1，理18】如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值【分析】（1）过N作NHAD，证明NMBH，再证明BHDE，可得NMDE，再由线面平行的判定可得MN平面C1DE；（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可
9、得二面角AMA1N的正弦值【解答】（1）证明：如图，过N作NHAD，则NHAA1，且，又MBAA1，MB，四边形NMBH为平行四边形，则NMBH，由NHAA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，BEDH，BEDH，则四边形BEDH为平行四边形，则BHDE，NMDE，NM平面C1DE，DE平面C1DE，MN平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则N（，2），M（，1，2），A1（，1，4），设平面A1MN的一个法向量为，由，取x，得，又平面MAA1的一个法向量为，cos二面角AMA1N的正弦
10、值为8、【2014全国1卷文19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明： （2）若,求三棱柱的高.【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱的高为.【解析】 又，所以平面ABC.9、【2016全国1卷文18】如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点.（1）证明：是的中点；（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，体积为.【解析】试题分析：证明由可得是的中点. （II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且
11、，可得 在等腰直角三角形中，可得四面体的体积（II）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.由（I）知，是的中点，所以在上，故由题设可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得 在等腰直角三角形中，可得所以四面体的体积10、【2019全国1卷，文19】如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距
12、离【答案】解：（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且ME=12B1C.又因为N为 的中点，所以ND=12A1D.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，所以DE平面，故DECH.从而CH平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.11、（2019理科II卷17）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1（1）证明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值【解析】（1）由已知得
13、，平面，平面，故又，所以平面（2）由（1）知由题设知，所以，故，以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则即所以可取n=.设平面的法向量为m=（x，y，z），则即所以可取m=（1，1，0）于是所以，二面角的正弦值为12、（2018理科II卷20）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值【解析】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且，由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得，可取，
