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1、浅谈解析几何点与直线的对称问题编者：蔡澍辰 前言：解析几何是数学很关键的一部分，高中最先接触的是直线与方程，首次接触的难点是通过坐标建立几何与代数相联系的思维，本文以其中重点直线 为例浅谈解析几何思维。注：由于与坐标轴垂直的直线的相关问题较为简单，本文为了简便只讨论不与坐标轴垂直的直线，但请读者注意解题时可能需要分类讨论，本文不另作叙述。一、基础点与点间的关系 点与点的代数关系是解决解析几何问题的最基础内容，常见关系如下：1、两点连线的中点：（xl, yl）与（x2, y2）的中点是（xl+ x2） /2,（y1 +y2）/22、一个点关于另一个点的对称点：（x1, yl）关于（x2, y2）
2、的对称点是（2 x2 -x1,2y2- y1）证明过程：设该对称点为（x3, y3），根据1则有x2 = （x1+ x3） /2, y2 =（y1 + y3） /2,整理得 x3=2 x2 -x1,y3=2y2- y1。二、进阶点与直线的关系 接下来,我们需要用点和点的关系建立点与直线间的代数关系,常见关系如下：1、两点连线的中垂线：（x1, y1）与（x2, y2）连线的中垂线方程是y-（y1 +y2）/2=- （x2-x1）/（ y2-y1） x-（x1+ x2）/2证明过程：两点连线的斜率为(y2-yl) / (x2-xl)，中垂线斜率即为-(x2-xl)/( y2-yl),又两点连线中
3、点必在中点上，可用点斜式方程。2、一点关于直线的对称点：(xl, yl)关于Ax+By+C=O(A,B不同时为0)的 对称点：设对称点为(x2, y2)，解下列方程组：y2-yl)/(x2-xl)*(-A/B)=-lA(xl+ x2)/2+B(yl +y2)/2+C=0证明过程：利用1内容，该直线为两点中垂线，利用两点连线与该直线垂 直、中点在该直线上两个关系列出方程组。3、直线关于一点的对称直线：Ax+By+C二0关于(x1, y1)的对称直线：(y- 2y1 + y2)/ (y2-y3)=(x-2x1+x2)/( x2-x3)(x2，x1)，(x3，y3)为该直线两点上证明过程：这两点关于
4、该直线的对称点分别为(2 x1 -x2，2y1- y2)，(2 x1 -x3, 2y1- y3)，两对称点必在对称直线上，用两点式方程。以上规律是否适用于一般题型呢？让我们用一道例题验证一下。例题：求3x-y+1=0关于点(1,1)的对称直线。解: V 当 x=1 时，y=4,当 x=2 时，y=7,(1,4),(2, 7)在直线3x-y+l=0上（y-2 *1 + 4）/ （4-7） = （x-2 *1+1）/（ 1-2）整理得，3x-y-5=0所以3x-y+1=0关于点（1, 1）的对称直线为3x-y-5=0由此可见,只要分辨题目类型然后利用公式即可解决问题。三、应试直线与直线的关系最后需
5、要探讨的是直线与直线的关系,小编认为常见关系有以下几条：1、两条直线的对称轴直线方程：A1x+B1y+C1=0（A1与B1不同时为0）与 A2x+B2y+C2=0（A2与B2不同时为0）的对称轴直线方程是（2y-y1-y2） / （y3+y4- y1-y2）=（2x-x1-x2）/（x3+x4-x1-x2）（x1，y1），（x3， y3）在 A1x+B1y+C1=0 上，（x2，y2），（x4，y4）在 A2x+B2y+C2=0 上证明过程：在 A1x+B1y+C1=0 找两点（x1，y1），（x3， y3），在 A2x+B2y+C2=0上找两点（x2，y2），（x4，y4）（注意两两对应连线
6、的中点不要 重合），求出两中点坐标并使用两点式方程。2、一条直线关于另一条直线的对称直线：A1x+B1y+C1=0 （A1与B1不同时为 0）关于A2x+B2y+C2=0 （A2与B2不同时为0）的对称直线方程求解方法为在该直 线上找两个点，分别求出其关于对称轴直线的对称点再使用两点式方程，由于一般 性方程过于复杂且使用难度大，本文暂不予列出。基本的点与直线的对称关系都已经探讨完毕，那么这些知识是否足够用来解 答高考难题呢，来看这一道例题。例题：已知等边三角形ABC,顶点A坐标为（1, 1）, BC所在直线方程为 2x+y-7=0，求 ABC的BC边的中位线的方程。解：过A作DE平行于BC,设
7、DE所在直线方程为2x+y+C 1=0 (C 1H-7),代入点A得，C 1=-3,DE方程为2x+y-3=0在直线2x+y-7=0上，当 x=1 时，y=5,当 x=2 时，y=3,在直线2x+y-3=0上，当 x=3 时，y=-3(1,5),(2, 3)在 2x+y-7=0 上(3, -3)在 2x+y-3=0 上(2y-5+3)/(3+1-5+3)=(2x-1-3)/(2+1-1-3)整理得，2x+y-5=0,ABC的BC边的中位线的方程为2x+y-5=0由此可见,只要将问题转化为本文所讲内容,再利用公式即可解出答案。结论：点与直线的对称的相关问题是中学解析几何的基础，只有熟练掌握规 律并培养出快速解题的能力，才能应对复杂多变的高考题和更深入的解析几何内 容。抱有再复杂的代数关系也会有其一般规律的信心，才能在解析几何的路上走得 更远。
