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1、 课时规范练26等差数列及其前n项和一、选择题1.已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d等于()A.1B.C.2D.3答案:C解析:由已知得S3=3a2=12,即a2=4,d=a3-a2=6-4=2.来源:2.等差数列an的前n项和为Sn(n=1,2,3,),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S14答案:C解析:由a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15=15a8是定值.故选C.3.若数列an满足:a1=19,an+1=a
2、n-3(nN*),则数列an的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9答案:B解析:an+1-an=-3,数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列,an=19+(n-1)(-3)=22-3n.设an的前k项和数值最大,则有k.kN*,k=7.满足条件的n的值为7.4.在等差数列an中,a1=a3+a7-2a4=4,则的值为整数时n的个数为()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:a3+a7-2a4=2d=4,d=2.an=2n+2.=4+.当n=1,2时,符合题意.5.已知函数f(x)=cos x,x(0,2)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x
3、3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m等于()A.B.-C.D.-答案:D解析:若m0,则公差d=,显然不成立,所以m0,则公差d=.所以m=cos=-,故选D.6.已知数列an满足a1=0,an+1=an+2+1,则a13等于()A.143B.156C.168D.195答案:C解析:由an+1=an+2+1,可知an+1+1=an+1+2+1=(+1)2,即+1,故数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以+12=13,则a13=168.故选C.二、填空题7.已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=,Sn=.答案:1(n2+n)解析:由a1=,S
4、2=a3得,a1+a2=a3,即a3-a2=,故an是一个以a1=为首项,以为公差的等差数列.an=+(n-1)n,a2=1,Sn=n2+n=(n2+n).8.若an为等差数列,Sn是其前n项和,且S11=,则tan a6的值为.答案:-解析:因为S11=11=11=,所以a6=,tan a6=-.9.在数列an中,若a1=1,a2=(nN*),则该数列的通项an=.答案:解析:由,为等差数列.又=1,d=1,=n,an=.10.已知an满足a1=a2=1,=1,则a6-a5的值为.答案:96解析:由=1可知,是等差数列,公差为1,其首项为=1,=n.累乘得an=(n-1)(n-2)321(n
5、2),a6-a5=120-24=96.11.设数列an,bn都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.答案:35解析:(a1+a5)+(b1+b5)=2(a3+b3)=42,a5+b5=42-7=35.三、解答题12.在等差数列an中,Sn是其前n项和,a1=-2 015,=2,求S2 015.解:=a1+(n-1),为以a1为首项,以为公差的等差数列.=2=2.d=2.S2 015=2 015(-2 015)+2=-2 015.13.已知数列an中a1=8,a4=2,且满足an+2+an=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn是数列|an|的前n项和,求
6、Sn.解:(1)由2an+1=an+2+an可得an是等差数列,且公差d=-2.an=a1+(n-1)d=-2n+10.(2)令an0,得n5.即当n5时,an0,n6时,an0,当n5时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+9n,当n6时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-(a6+a7+an)=-(a1+a2+an)+2(a1+a2+a5)=-(-n2+9n)+2(-52+45)=n2-9n+40,Sn=14.已知数列an满足:a1=1,an+1=2an+m2n(m是与n无关的常数且m0).(1)设bn=,证明数列bn是等差数列,并求an;来源:
7、(2)若数列an是单调递减数列,求m的取值范围.解:(1)an+1=2an+m2n,来源:同除以2n+1得,即bn+1=bn+.数列bn是首项为,公差为的等差数列.bn=+(n-1).bn=,an=bn2n=2n-1(mn+1-m).(2)由(1)得an=2n-1(mn+1-m),an+1-an=m(n+1)+1-m2n-(mn+1-m)2n-1=2n-1(mn+1+m),数列an是单调递减数列,对任意的正整数n,不等式2n-1(mn+1+m)0恒成立,即m-恒成立m=-.故m0,前n项和为Sn,且满足a2a3=45,a1+a4=14.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn;(2)设bn=,
8、若bn也是等差数列,试确定非零常数c,并求数列的前n项和Tn.解:(1)依题意得解得(舍去),an=4n-3,Sn=2n2-n.(2)由(1)知bn=.数列bn是等差数列,则2b2=b1+b3,即2,解得c=-,bn=2n.则,Tn=+.来源:四、选做题1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S90,S100,得a50,由S10=a1+a2+a10=5(a5+a6)0,得a5+a60,a60,即等差数列an是公差da2a3a4a50,最大.2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+1=2an,则使不等式+52n+1成立的n的最大值为.答案:4解析:当n=1时,2a1=S1+1,得a1=1,当n2
9、时,2(an-an-1)=Sn-Sn-1=an,所以=2,所以an=2n-1.来源:又因为a1=1适合上式,所以an=2n-1,所以=4n-1,所以数列是以=1为首项,以4为公比的等比数列,所以+(4n-1),所以(4n-1)52n+1,即2n(2n-30)1,易知n的最大值为4.3.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(cR,n=1,2,3,),且S1,成等差数列.(1)求c的值;(2)求数列an的通项公式.解:(1)nSn+1-(n+1)Sn=n2+cn(n=1,2,3,),(n=1,2,3,).S1,成等差数列,.,c=1.(2)由(1)得=1(n=1,2,3,).数列是首项为,公差为1的等差数列.+(n-1)1=n.Sn=n2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.当n=1时,上式也成立,an=2n-1(n=1,2,3,).
